Ilość miejsc zerowych funkcji
Ilość miejsc zerowych funkcji
Mam pewne pytanie, tak z czystej ciekawości
Czy istnieją jakieś metody, algorytmy, cokolwiek, za pomocą których można obliczyć bądź wyznaczyć, ile dana funkcja posiada miejsc zerowych?
Wiem, że w przypadku funkcji wielomianowych można na podstawie stopnia wielomianu wyznaczyć maksymalną ilość pierwiastków, jaką dana funkcja może posiadać, lecz to nie to samo co wyznaczenie ich dokładnej liczby
Czy istnieją jakieś metody, algorytmy, cokolwiek, za pomocą których można obliczyć bądź wyznaczyć, ile dana funkcja posiada miejsc zerowych?
Wiem, że w przypadku funkcji wielomianowych można na podstawie stopnia wielomianu wyznaczyć maksymalną ilość pierwiastków, jaką dana funkcja może posiadać, lecz to nie to samo co wyznaczenie ich dokładnej liczby
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Ilość miejsc zerowych funkcji
A co, jeśli funkcja ma nleskończenie wiele miejsc zerowych, np. funkcja Dirichleta?
Re: Ilość miejsc zerowych funkcji
No nie wiem, wtedy powinno wyjść coś nietypowego w danej metodzie albo powinny być jakieś warunki/zastrzeżenia, kiedy jej stosowanie ma sens, a kiedy nie
Mogę sobie jedynie "gdybać", jeśli nie wiem, czy w ogóle takie narzędzia istnieją
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Ilość miejsc zerowych funkcji
Nie może posiadać tylko dokładnie posiada o ile zakładamy, że dziadziną jest \(\displaystyle{ \CC}\) (drobne czepialstwo z mojej strony ale akurat temat pytania jest dokładnie o tym więc ta korekta wydaje mi się istotna).Wiem, że w przypadku funkcji wielomianowych można na podstawie stopnia wielomianu wyznaczyć maksymalną ilość pierwiastków, jaką dana funkcja może posiadać
Nie trzeba znać dokładnej wartość miejsc zerowych by je zliczać miej to na uwadze. Poza tym to bardzo ogólne pytanie i odpowiedź jest zależna od rodzaju funkcji jaki rozpatrujesz. W pełnej ogólności prawdopodobnie nie ma nawet algorytmów numerycznych. Można rozważać skrajnie nieciągłe egzotyczne funkcje wielu zmiennych z którymi komputer sobie nie poradzi. Z drugiej strony takie samo pytanie można zadać na gruncie funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej. Wtedy odpowiedź poznaje się w pierwszych klasach szkoły gdzie uczą o wyróżniku \(\displaystyle{ \Delta}\) który to właśnie wyróżnia sytuację \(\displaystyle{ 2}\) miejsc zerowych od \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) miejsc zerowych. Można to uogólnić dla wielomianów \(\displaystyle{ 3}\) stopnia wzory Cardano oraz \(\displaystyle{ 4}\) stopnia wzory ferrariego które pozwalają jawnie wyznaczyć pierwiastki więc również je zliczyć. Dla wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 5}\) i wyżej już ogólnych metod nie ma (i nie będzie) niemniej jednak coś powiedzieć można wszak mówi o tym uogólniony wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta}\)lecz to nie to samo co wyznaczenie ich dokładnej liczby
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyr%C3%B3%C5%BCnik_wielomianu
Czasami można na pytanie o ilość pierwiastków odpowiedzieć powołując się na monotoniczność. Naturalnie więc pojawia się związek z pochodną funkcji. Badanie funkcji pochodnej może przyjeść pewnie informacje. Pomocne bywa Twierdzenie Rolle’a.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Rolle%E2%80%99a
Czasami wystarczy Twierdzenie Darboux i trochę cierpliwości. Przykładowo jeśli udało by się nam udowodnić, że wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków poprzez wskazanie, że Twierdzenie Darboux jest spełnione na \(\displaystyle{ n}\) parami rozłącznych przedziałach to tym samym wykażemy, że istnieje dokładanie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych.
Istnieją też twierdzenia\ algorytmy które pozwalają określać położenie pierwiastków szczególnie ważne jest to w teorii sterowania gdzie stabilność obiektów zależy właśnie od położenia pierwiastków. Trochę mówią o tym:
Kryterium Nyquista
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Nyquista
Kryterium stabilności Hurwitza
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_stabilno%C5%9Bci_Hurwitza
Kryterium Jury
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Jury
Powyższe kryteria są związane z automatyką i nie wiem ile się o nich mówi na matematyce. Podejrzewam, że na analizie zespolonej prędzej wspomina się o:
Rouché's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%27s_theorem
które też może być pomocne przy określaniu liczby i położenia miejsc zerowych.
Re: Ilość miejsc zerowych funkcji
Kurcze szkoda, że nie istnieje konkretne narzędzie pozwalające na coś takiego, a już miałem nadzieję, że może jednak
Dzięki za konkretną soczystą odpowiedź i przepraszam za drobne błędy, śnięty już trochę jestem
Dzięki za konkretną soczystą odpowiedź i przepraszam za drobne błędy, śnięty już trochę jestem
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Ilość miejsc zerowych funkcji
Dla funkcji wielomianowych nad \(\displaystyle{ \RR}\) algorytm istnieje:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sturma
Re: Ilość miejsc zerowych funkcji
Ooo, właśnie chodziło mi o coś takiegoDasio11 pisze: ↑22 mar 2020, o 08:47 Dla funkcji wielomianowych nad \(\displaystyle{ \RR}\) algorytm istnieje:Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sturma
Wielkie dzięki!