określić czy funkcja jest różnowartościowa

[july04]

Mam problem w udowodnieniu różnowartościowości takiej funkcji:
\(\displaystyle{ f(n) = n+(-1)^n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

próbowałem porównać stronami

\(\displaystyle{ n _{1} +(-1)^{n_{1}}=n_{2}+(-1)^{n_{2}} }\)

[kerajs]

\(\displaystyle{
a_{2k}=2k+1\\
a_{2k+1}=2k+1-1=2k}\)

Dodano po 17 godzinach 25 minutach 19 sekundach:
Wczoraj nie miałem czasu dopisać komentarza, a dziś widzę że pytasz o funkcję , a nie o ciąg.
No to jeszcze raz:
\(\displaystyle{ f(2k)=2k+1\\
f(2k+1)=2k}\)

Wartościami funkcji dla kolejnych argumentów parzystych są kolejne liczby nieparzyste, a wartościami funkcji dla kolejnych argumentów nieparzystych są kolejne liczby parzyste. Ergo, funkcja jest różnowartościowa (a skoro jeszcze jest surjekcją, to jest bijekcją).

[janusz47]

Niech

\(\displaystyle{ m\neq n , }\) dla \(\displaystyle{ m, n \in \NN.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ m + (-1)^{m} \neq n + (-1)^{n} }\)

\(\displaystyle{ m- n + (-1)^{m} - (-1)^{n} \neq 0 }\)

\(\displaystyle{ (m - n) + (-1)^{n}[ (-1)^{m-n} -1] \neq 0 }\) - prawda

\(\displaystyle{ f(n) \neq f(m). }\)

c.b.d.o.

[Jan Kraszewski]

Wtedy

\(\displaystyle{ m + (-1)^{m} \neq n + (-1)^{n} }\)

\(\displaystyle{ m- n + (-1)^{m} - (-1)^{n} \neq 0 }\)

\(\displaystyle{ (m - n) + (-1)^{n}[ (-1)^{m-n} -1] \neq 0 }\) - prawda

\(\displaystyle{ f(n) \neq f(m). }\)

Bez komentarz wygląda to średnio - wypadałoby napisać, że przekształcasz równoważnie tezę. Poza tym stwierdzenie "prawda" to trochę za mało - dlaczego prawda?

I dlatego rozwiązanie kerajsa wygląda lepiej.

JK

[janusz47]

Nie zgadzam się z tą opinią.

[Niepokonana]

A ja się zgadzam. Zawsze warto napisać, o co chodzi, żeby ktoś wiedział. Bo może i jest to podstawowe zagadnienie, ale nie wiemy, czy jest to zagadnienie podstawowe dla autora tematu.

Czyli w tym zadaniu chodzi tylko o to, żeby udowodnić, że funkcja przyjmuje różne wartości dla różnych argumentów?

[Jan Kraszewski]

Czyli w tym zadaniu chodzi tylko o to, żeby udowodnić, że funkcja przyjmuje różne wartości dla różnych argumentów?

Tak.

JK