zbadaj monotoniczność funkcji

[daenerya]

hejj, bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu! (nie przerabialiśmy jeszcze funkcji kwadratowej)
\(\displaystyle{ f(x)= -x^{2} + 10x +1, x \in \left( 5, + \infty \right) }\)

[Premislav]

Tutaj nie potrzeba wiadomości z funkcji kwadratowej, wystarczą wzory skróconego mnożenia. Niech \(\displaystyle{ x>y>5}\). Mamy
\(\displaystyle{ f(x)-f(y)=-x^{2}+10x+1-\left(-y^{2}+10y+1\right)}\)
Wykonaj redukcję wyrazów podobnych, a potem skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x)}\) i czynnik \(\displaystyle{ y-x}\) wyciągnij przed nawias.

[daenerya]

dziękuję!!

[Niepokonana]

Tutaj nie potrzeba wiadomości z funkcji kwadratowej, wystarczą wzory skróconego mnożenia. Niech \(\displaystyle{ x>y>5}\). Mamy
\(\displaystyle{ f(x)-f(y)=-x^{2}+10x+1-\left(-y^{2}+10y+1\right)}\)
Wykonaj redukcję wyrazów podobnych, a potem skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x)}\) i czynnik \(\displaystyle{ y-x}\) wyciągnij przed nawias.

O co chodzi z tymi igrekami i \(\displaystyle{ f(y)}\)?

[Thingoln]

Myślę, że to dowolny argument z dziedziny taki, że \(\displaystyle{ x>y>5}\)

[Niepokonana]

Ale dlaczego?

[Janusz Tracz]

Niepokonana bo taka jest definicja monotoniczności. Literaka \(\displaystyle{ y}\) jest tu tylko literką więc nie należy jej mylić z jakaś funkcją. Premislav ustalił dowolne liczby z dziedziny tj. \(\displaystyle{ x,y\in \left( 5, \infty \right) }\) takie, że \(\displaystyle{ x>y>5}\). Następnie sprawdza się jaka relacja zachodzi pomiędzy \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f(y)}\) (a właściwie to nie sprawdza tylko tłumaczy jak to sprawnie zrobić). Zamiast pisać \(\displaystyle{ y}\) można pisać \(\displaystyle{ x'}\) może wtedy będzie to bardziej przejrzyste.

Może warto wspomnieć tu, że wiedza o funkcji kwadratowej jest przydatna ale nie niezbędna do zrobienia zadania. W liceum raczej spotyka się podejście, że \(\displaystyle{ f(x)= -x^{2} + 10x +1}\) jest rosnąca do wierzchołka i malejąca od wierzchołka bo przed \(\displaystyle{ x^2}\) jest liczba ujemna ale to stwierdzenie działa jedynie dla funkcji kwadratowych a o monotoniczności można mówić nie tylko w kontekście funkcji kwadratowych.

[Niepokonana]

Czyli Premislav po prostu udowodnił, że wartość dla igreka będzie większa niż wartość dla iksa i stąd widać, że funkcj maleje?

[Janusz Tracz]

Niepokonana, tak właśnie zrobił. Poza tym zrobił to dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) jedynie zakładając, że:

\(\displaystyle{ 1)}\) należą do zbioru na którym dowodzimy monotoniczności \(\displaystyle{ x,y>5}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) oraz, że \(\displaystyle{ x>y}\)

co można ująć jednocześnie jako \(\displaystyle{ x>y>5.}\)