Przedziały monotoniczności funkcji

[41421356]

Czy funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 2x &\text{dla } &0<x\leq 1\\-1 &\text{dla } &-2<x\leq -1 \end{cases}}\)

będzie rosnąca dla \(\displaystyle{ x\in \{-1\}\cup\left( 0,1\right>}\), czy dla \(\displaystyle{ x\in\left(0,1\right>}\)?

[a4karo]

To pierwsze ...
i to drugie też.
I dla \((1/3,1/2)\) też

A jaką masz definicję funkcji rosnącej?

[Janusz Tracz]

będzie rosnąca dla \(\displaystyle{ x\in \{-1\}\cup\left( 0,1\right>}\), czy dla \(\displaystyle{ x\in\left(0,1\right>}\)?

Tu i tu jest rosnąca, z definicji można sprawdzić. Ustaliwszy \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in \{-1\}\cup\left( 0,1\right>}\) jeśli \(\displaystyle{ x_1<x_2}\) to można rozważyć dwa przypadki \(\displaystyle{ x_1=-1}\) lub \(\displaystyle{ x_1 \neq -1}\) niemniej jednak wyjdzie, że definicja jest spełniona.

Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
PS piszę jedynie o \(\displaystyle{ \{-1\}\cup\left( 0,1\right>}\) bo na tym zbiorze funkcja już okazuje się być rosnąca więc na \(\displaystyle{ \left( 0,1\right>}\) będzie tym bardziej.

[41421356]

Rozumiem, w takim razie jaki będzie maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca?

[a4karo]

Jak mówisz o przedziale, to to drugie. Jak o zbiorze, to pierwsze (oczywiście przy założeniu, że myślimy o funkcji ścisłe rosnącej)

[41421356]

Czyli jeśli byśmy mówili o funkcji rosnącej na zbiorze, to jak to mógłbym zapisać skoro mogę wziąć dowolny punkt z przedziału \(\displaystyle{ \left(-2,-1\right>}\)?

[a4karo]

D dokładnie tak jak zapisałeś z - 1

[41421356]

Ok, a jak zapiszę \(\displaystyle{ x\in\{-1,5\}\cup\left(0,1\right>}\)?

[a4karo]

To będzie źle, bo funkcja nie ma wartości w 5

Dodano po 1 godzinie 45 minutach 35 sekundach:
OK, rozumiem, że `-1,5` to miało być `-3/2`. Tak

Generalnie ta funkcja jest ścośle rosnąca na każdym zbiorze postaci \(A\cup B\), gdzie \(B\subset (0,1]\) zaś \(A\) jest co najwyżej jednoelementowym podzbiorem zbioru \((-2,1]\).

[41421356]

Dziękuję bardzo za odpowiedź, już wszystko jest jasne.