Udowodnić nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 13 paź 2019, o 10:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Udowodnić nierówności
Udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \cos x>1- \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
\(\displaystyle{ e ^{x} >1+x+ \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
Chyba trzeba policzyć pochodne i \(\displaystyle{ f(0)}\), ale nie wiem jak to wykorzystać, nie umiem sprawdzić kiedy pochodna jest większa od zera.
\(\displaystyle{ \cos x>1- \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
\(\displaystyle{ e ^{x} >1+x+ \frac{1}{2}x ^{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x >0}\)
Chyba trzeba policzyć pochodne i \(\displaystyle{ f(0)}\), ale nie wiem jak to wykorzystać, nie umiem sprawdzić kiedy pochodna jest większa od zera.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2020, o 20:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Udowodnić nierówności
W pierwszym zamiast scałkować, można też inaczej wykorzystać tę nierówność, tylko w nieco mocniejszej formie \(\displaystyle{ |\sin x|<x}\) (zresztą z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej natychmiast wynika \(\displaystyle{ |\sin x|< |x|, \ x\neq 0}\)), a mianowicie ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i z jedynki trygonometrycznej mamy
\(\displaystyle{ 1-\cos x=2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\)
Natomiast chyba rzeczywiście scałkowanie tych znanych nierówności stronami jest najbardziej naturalne.
\(\displaystyle{ 1-\cos x=2\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\)
Natomiast chyba rzeczywiście scałkowanie tych znanych nierówności stronami jest najbardziej naturalne.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Udowodnić nierówności
Wykres to nie jest w zasadzie dowód, a jedynie przesłanka, że nierówność zachodzi. Ewentualnie może być dowodem, jeśli nie jest na oko lub w programie graficznym, lecz opiera się na zbadaniu przebiegu zmienności funkcji, ale wtedy wnioski z przebiegu zmienności bez samego wykresu są już dowodem.