Funkcyjne z kwadratem

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Funkcyjne z kwadratem

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dla jakich \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x) f( yf(x) - 1 )= x^2f(y) - f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) ?
Ostatnio zmieniony 7 gru 2019, o 17:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Funkcyjne z kwadratem

Post autor: Premislav »

Nienawidzę równań funkcyjnych. :cry:
Kładąc \(\displaystyle{ x=y=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(0)(f(-1)+1)=0}\), zatem \(\displaystyle{ f(0)=0\vee f(-1)=-1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to wstawiając w wyjściowym równaniu \(\displaystyle{ y=0}\), mamy
\(\displaystyle{ f(x)(f(-1)+1)=0}\), stąd zachodzi jedna z dwóch możliwości: \(\displaystyle{ f(-1)=-1}\) lub \(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)f(x)=0}\). Funkcja tożsamościowo równa zeru spełnia wyjściowe równanie, dalej nie będziemy się nią zajmować i przyjmujemy, że \(\displaystyle{ f(-1)=-1}\).
Gdyby istniało takie \(\displaystyle{ x_{0}\neq 0}\), że \(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), to byłoby
\(\displaystyle{ f(x_{0})f(yf(x_{0})-1)=x_{0}^2f(y)-f(x_{0})\\x_{0}^2 f(y)=0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ y\in \RR}\), więc albo \(\displaystyle{ f}\) jest tożsamościowo równa zeru, albo \(\displaystyle{ f(x_{0})=0\Leftrightarrow x_{0}=0}\).
Zajmujemy się oczywiście tym drugim przypadkiem.
Dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) podstawiamy w równaniu \(\displaystyle{ (*) f(x) f( yf(x) - 1 )= x^2f(y) - f(x), \ y:=x}\), dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ f(x)}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ f(xf(x)-1)=x^{2}-1 \ (@)}\). W tym ostatnim równaniu wstawiamy \(\displaystyle{ x:=1}\) i z jedyności miejsca zerowego \(\displaystyle{ f}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f(1)=1}\).
Teraz kładziemy w \(\displaystyle{ (*), \ x:=1}\) i dostajemy \(\displaystyle{ f(y-1)=f(y)-1}\), natomiast wstawiając w \(\displaystyle{ (*), \ x:=-1}\) mamy
\(\displaystyle{ -f(-y-1)=f(y)+1}\) i korzystając z poprzedniej równości przekształcamy to do postaci
\(\displaystyle{ -(f(-y-1)+1)=f(y)\\-f(-y)=f(y)}\),
czyli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją nieparzystą.
Do równania \(\displaystyle{ (@)}\) stosujemy teraz spostrzeżenie, ze \(\displaystyle{ f(y-1)+1=f(y)}\), otrzymując w rezultacie \(\displaystyle{ f(xf(x))=x^{2}}\)
Następnie w \(\displaystyle{ (*)}\) wstawiamy \(\displaystyle{ y:=1}\), co daje nam
\(\displaystyle{ f(x)f(f(x))=x^{2}}\)
W tej ostatniej równości podstawiamy \(\displaystyle{ x:=xf(x)}\), dostając w rezultacie
\(\displaystyle{ x^{2}f(x^{2})=x^2f(x)^2\\f(x^{2})=f(x)^2}\)
(zauważmy, że to ostatnie, w połączeniu z zerowaniem się \(\displaystyle{ f}\) tylko w zerze, daje nam dodatniość \(\displaystyle{ f}\) na dodatniej półprostej).
Podstawiamy teraz w \(\displaystyle{ (*), \ y:=x^2}\) i korzystając z \(\displaystyle{ f(x^2)=f(x)^2}\) dostajemy
\(\displaystyle{ f\left(x^{2}f(x)\right)=x^{2}f(x)}\).
Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ x\mapsto x^2 f(x)}\) jest surjekcją na \(\displaystyle{ \RR}\) albo przynajmniej \(\displaystyle{ \RR^{+}}\) (nieparzystość). Nie umiem tego zrobić, co nie kończy dowodu.

Jedyne funkcje, które spełniają to równanie, to \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0, \ f(x)=x}\), ale nie potrafię tego wykazać, ja w ogóle niewiele potrafię.
ODPOWIEDZ