niejasnosc z zadaniem - funkcja odwrotna

[anagram39]

Polecenie:
Sprawdzić, dla jakich argumentów \(\displaystyle{ x}\) istnieje funkcja odwrotna do
\(\displaystyle{ f(x) = 3 \sin (2x -\pi) + 1}\)
Następnie wyznaczyć \(\displaystyle{ f^{-1}}\) oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.

Sprawdzić dla jakich argumentów \(\displaystyle{ x}\) istnieje funkcja odwrotna - czy chodzi tu po protu o wyznaczenie dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) czy zle to rozumiem?
Gdzieś wyczytałam, że w takich zadaniach trzeba udowodnic, ze funkcja jest wzajemnie jednoznaczna i roznowartosciowa - jak to zrobić na tym przykladzie? Mam też problem z wyznaczeniem przeciwdziedziny... Zadanko jest liczone na 10 punktów i martwię się, że coś w nim przegapiłam wiec prosze o pomoc

[Jan Kraszewski]

Sprawdzić dla jakich argumentów \(\displaystyle{ x}\) istnieje funkcja odwrotna - czy chodzi tu po protu o wyznaczenie dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) czy zle to rozumiem?

Źle. Ta funkcja nie jest różnowartościowa, więc nie ma funkcji odwrotnej. Masz zatem wskazać jak największy podzbiór dziedziny, na którym ta funkcja jest różnowartościowa, bo wtedy na tym podzbiorze można ją odwrócić.

Gdzieś wyczytałam, że w takich zadaniach trzeba udowodnic, ze funkcja jest wzajemnie jednoznaczna i roznowartosciowa - jak to zrobić na tym przykladzie?

W tym przykładzie jest zupełnie inna kolejność czynności. Ty nic nie dowodzisz - masz wskazać podzbiór (w tym wypadku: przedział), na którym ta funkcja jest różnowartościowa. Ponieważ masz tylko wzór funkcji, więc ten podzbiór będzie wzajemnie jednoznacznie przekształcany na swój obraz (który będzie dziedziną funkcji odwrotnej; przeciwdziedziną funkcji odwrotnej będzie rzeczony podzbiór).

Mam też problem z wyznaczeniem przeciwdziedziny... Zadanko jest liczone na 10 punktów i martwię się, że coś w nim przegapiłam wiec prosze o pomoc

Przeciwdziedziny w ogólności nie wyznacza się, tylko ma się ją daną. W tej sytuacji termin "przeciwdziedzina" jest zapewne użyty na opisanie zbioru wartości tej funkcji.

W ogólności sformułowanie zadania sugeruje niewielką dbałość o kwestie formalne.

JK

[a4karo]

A jak chcesz sobie zażartować z zadającego zadanie, to zrób tak.
Dla \(-2\leq a\leq 4\) niech \(F_a=\{x: 3\sin(2x-\pi)+1=a\}\). Wtedy zbiory \(F_a\) są rozłączne, a ich sumą jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Na mocy pewnika wyboru istnieje zbiór \(G\) taki, że jego przekrój z każdym ze zbiorów \(F_a\) jest jednopunktowy. Obcięcie funkcji do zbioru \(G\) jest różnowartościowe, a funkcja odwrotna dana jest wzorem \(f^{-1}(a)=G\cap F_a\)

[anagram39]

Dziękuję bardzo za odpowiedzi, wszystko jest teraz bardziej zrozumiale