Matematyka.pl

Witam, ostatnio próbowałem dowieść, że jeśli logarytm danej funkcji jest ograniczony, to funkcja "logarytmowana" też jest ograniczona.
Nie doszedłem do poprawnej konkluzji, stąd moje pytanie:
\(\displaystyle{ p - f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{A}}\) jest funkcją ograniczoną oraz
\(\displaystyle{ q- g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest dowolną funkcją elementarną
\(\displaystyle{ r- g \circ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest funkcją ograniczoną
To czy wynikanie \(\displaystyle{ r \Rightarrow p}\) jest zawsze prawdziwe?
Oraz kiedy \(\displaystyle{ p \wedge q \Rightarrow r}\) jest prawdą?

Może taki kontrprzykład: funkcja \(\displaystyle{ \sin(x^2)}\) jest ograniczona, ale sama \(\displaystyle{ x^2}\) nie jest.

Natomiast jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest taka, że istnieje \(\displaystyle{ M\in\mathbb{R}}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ -M<\ln(f(x))<M}\), to \(\displaystyle{ e^{-M} < f(x)< e^M}\).
Zatem \(\displaystyle{ f}\) też jest ograniczona. Korzystaliśmy tutaj z faktu, że logarytm posiada funkcję odwrotną, która jest również funkcją monotoniczną.