Wyznaczanie dziedziny, zbioru wartości i poziomic

[saymyname200]

Wyznaczanie dziedziny, zbioru wartości i poziomic dla funkcji \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=2x^2-y+5 }\)
Czy są to poprawne wyniki:
\(\displaystyle{
D=\left\{ \left( x,y\right):x \in \RR \wedge y \in \RR \right\} =\RR^2
}\)
\(\displaystyle{ ZbWart \in \RR }\) (tutaj nie wiem jak to zapisać, czy po prostu należy do rzeczywistych, czy \(\displaystyle{ \left( - \infty , \infty \right) }\) )
Poziomice:
\(\displaystyle{
z=5 \\
2x^2-y=0 \\
y=2x^2
}\)
i tutaj na rysunku parabola z miejscem zerowym w \(\displaystyle{ \{(0,0)\}}\).
\(\displaystyle{
z=1 \\
y=2x^2+4 \\
z=0 \\
y=2x^2+5
}\)
I czy dwie ostatnie poziomice mają sens, bo wtedy wychodzą proste przecinające parabolę, czy może należy wybrać inne wartości dla \(\displaystyle{ z}\)?

[szw1710]

Poziomic mamy tu nieskończenie wiele, a nie tylko kilka. Niech \(z\in\RR\). Aby wyznaczyć poziomicę odpowiadającą poziomowi \(z\), rozwiązujemy równanie \(2x^2-y+5=z\), czyli \(y=2x^2-z+5\). Widać więc, że wszystkie poziomice to parabole.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ ZbWart \in \RR }\) (tutaj nie wiem jak to zapisać, czy po prostu należy do rzeczywistych, czy \(\displaystyle{ \left( - \infty , \infty \right) }\) )

Zbiór wartości tej funkcji z całą pewnością nie należy do zbioru liczb rzeczywistych, bo do tego zbioru należą liczby, a nie zbiory.

JK

[a4karo]

Wyznaczanie dziedziny, zbioru wartości i poziomic dla funkcji \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=2x^2-y+5 }\)
Czy są to poprawne wyniki:
\(\displaystyle{
D=\left\{ \left( x,y\right):x \in \RR \wedge y \in \RR \right\} =\RR^2
}\)
\(\displaystyle{ ZbWart \in \RR }\) (tutaj nie wiem jak to zapisać, czy po prostu należy do rzeczywistych, czy \(\displaystyle{ \left( - \infty , \infty \right) }\) )

Funkcja przyjmuje wartośći w zbiorze liczb rzeczywistych, więc zbiór wartości jest jego podzbiorem, a nie elementem.

Zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zapisz to poprawnie