Pomoc z dziedziny funkcji i funkcji odwrotnej

[Evejinka]

Hej, mógłby mi ktoś pomóc w zadaniu wyznaczyć dziedzinę oraz wyznaczyć ją na wykresie funkcji? I drugie zadanie funkcja odwrotna i również z wykresem. Z góry dziękuje i pozdrawiam.

1. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln(9-x)^2}{\sqrt{x^2+x-2}}}\)

2. \(\displaystyle{ f(x)=2x^2-4x+5}\)

[Jan Kraszewski]

A z czym masz problem?

JK

PS W drugim podpunkcie z funkcją odwrotną będzie ciężko. Dlatego zacytuj dokładnie polecenie w zadaniu.

[Evejinka]

Z całym zadaniem mam problem chciałabym po prostu zobaczyć jak ktoś zrobi to zadanie. Niestety nie znam dokładnie polecenia drugiego zadania, czemu będzie z tym ciężko? Trzeba podać funkcje odwrotną i wyznaczyć na wykresie. Wydaje mi się, że trzeba policzyć deltę, ale wyjdzie ujemna?

[Jan Kraszewski]

A zdajesz sobie sprawę z tego, kiedy w ogóle istnieje funkcja odwrotna do danej funkcji?

Wyznaczanie dziedziny polega na wykluczeniu sytuacji, w których wzór nie ma sensu matematycznego. Czego zatem nie można robić w pierwszym wzorze?

JK

[Evejinka]

Nie, możesz wyjaśnić? W pierwszym wzorze na pewno można wyznaczyć dziedzinę.

[Jan Kraszewski]

Dla danej funkcji istnieje funkcja odwrotna dokładnie wtedy, gdy jest oba bijekcją. Dlatego funkcja zadana wzorem 2., rozważana w dziedzinie naturalnej (czyli \(\RR\)), nie ma funkcji odwrotnej, bo nie jest różnowartościowa. Stąd moje podejrzenie, że polecenie brzmiało jednak inaczej.

W każdym wzorze można wyznaczyć dziedzinę, w pierwszym także. Wyznacz ją zatem.

JK

[Evejinka]

Gdybym umiała nie prosiłabym o pomoc. Ehh ta dyskusja nie ma sensu.

[Jan Kraszewski]

Ale to forum służy do pomocy, a nie do rozwiązywania zadań na żądanie.

Czy wyznaczałaś kiedykolwiek dziedzinę jakiejkolwiek funkcji? Czy wiesz, jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} }\) ? A funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{x}}\) ? A funkcji \(\displaystyle{ h(x)=\ln x}\) ? I dlaczego?

JK

[Evejinka]

To nie jest żądanie, tylko prośba. Rozwiązanie dla kogoś zadania to też pomoc. Dalsza dyskusja naprawdę nie ma sensu jak już pisałam. Można zamknąć ten temat, spytam gdzieś, gdzie ludzie normalnie odpowiadają na pytania bez wymądrzania się.

[Jan Kraszewski]

Zadałem Ci kilka prostych pytań, prowadzących do rozwiązania zadania pierwszego. Dlaczego na nie nie odpowiedziałaś?

JK

[janusz47]

Zadanie 1

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\log(9 - x)^2}{\sqrt{x^2 +x -2}} }\)

Kiedy wolno nam napisać wzór tej funkcji.

Tylko wtedy, gdy w liczniku wyrażenie logarytmowane musi być liczbą dodatnią i jednocześnie w mianowniku wyrażenie występujące pod znakiem pierwiastka też musi być liczbą dodatnią, czyli musi być spełniony układ nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (9 - x)^2 > 0 \\ x^2 +x -2 > 0 \end{cases} }\)

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy kolejno

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\neq 9 \\ (x+2)(x-1)>0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\neq 9 \\ x\in (-\infty, -2) \cup ( 1, +\infty) \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x\in (-\infty, -2) \cup (1,\ \ 9) \cup ( 9, +\infty) }\)

\(\displaystyle{ D_{f} = \{ x\in \RR: x\in (-\infty, -2) \cup (1,\ \ 9) \cup ( 9, +\infty) \}.}\)

Zadanie 2

\(\displaystyle{ f(x) = 2x^2 - 4x +5 }\)

\(\displaystyle{ f(x) = 2(x^2 -2x +1) +3 = 2(x-1)^2 +3\ \ (1)}\)

Jak napisał pan główny moderator "z funkcją odwrotną będzie ciężko ".

A dlaczego ciężko? Dlatego, że jak narysujemy wykres tej funkcji, to widzimy, że jest ona malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, \ \ 1) }\) i rosnąca przedziale \(\displaystyle{ ( 1, \ \ + \infty ). }\) Kiedy istnieje funkcja odwrotna do danej funkcji?

Żeby istniała funkcja odwrotna musimy "zacieśnić" (obciąć) dziedzinę tej funkcji na przykład do przedziału \(\displaystyle{ (1, +\infty) }\), bo w tym przedziale jest funkcją rosnącą.

Z równania \(\displaystyle{ (1) }\) wyznaczamy zmienną \(\displaystyle{ x }\) w zależności od \(\displaystyle{ y }\)

\(\displaystyle{ y - 3 = 2(x-1)^2 , \ \ \frac{1}{2}(y-3) = (x-1)^2, \ \ x = 1 - \sqrt{ \frac{1}{2}(y-3)} }\) lub \(\displaystyle{ x = 1 + \sqrt{ \frac{1}{2}(y-3)} }\)

Przyjmujemy wzór drugi funkcji, bo musi być funkcją rosnącą.

\(\displaystyle{ f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{\frac{1}{2}(x-3)} }\)

Dziedziną tej funkcji jest zbiór

\(\displaystyle{ D_{f^{-1}} = \{ x \in \RR: \frac{1}{2}(x-3) \geq 0 \} = \{ x \in \RR: x \geq 3 \} = [ 3, \ \ +\infty) .}\)

[Dilectus]

Popatrzmy na pierwsze zadanie i zastanówmy się nad dziedziną tej funkcji:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ f(x)=\frac{\ln(9-x)^2}{\sqrt{x^2+x-2}}}}\)

1. dla jakich argumentów określona jest funkcja logarytm?

2. jaka liczba nie może stać pod pierwiastkiem kwadratowym?

3. Kiedy ułamek ma sens?

Jeśli odpowiesz na te trzy pytania, Evejinko, to poradzisz sobie z dziedziną tej funkcji.