Przeciwobraz funkcji

[DJcarolo23]

Witam serdecznie, chciałbym poprosić o wskazówkę do jednego z zadań a dokładnie tego:

Niech \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) będzie określone wzorem.

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{2x + 1}{x + 2} &\text{dla }x \neq -2 \\ 2 &\text{dla }x = -2 \end{cases}}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to wyznaczyć \( f^{-1} \).

Zorientowanie się, że funkcja jest bijekcją, nie jest takie trudno, jednak w moim przypadku trudność pojawia się, kiedy mam wyznaczyć przeciwobraz na całości funkcji. Nie wiem za bardzo jak się do tego zabrać. Proszę o podpowiedź.

[janusz47]

\(\displaystyle{ y(x) = \frac{2x +1}{x+2} = \frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{x+2} = \frac{2(x+2) -3}{x+2} = 2 - \frac{3}{x+2}, \ \ x\neq -2. }\)


\(\displaystyle{ x(y) = ... }\)

Proszę poprawić zapis w lateX'u.

[Jan Kraszewski]

Zorientowanie się, że funkcja jest bijekcją, nie jest takie trudno, jednak w moim przypadku trudność pojawia się, kiedy mam wyznaczyć przeciwobraz na całości funkcji.

Mylisz znaczenie znaczków. Ty nie masz wyznaczyć "przeciwobrazu na całości funkcji", bo czegoś takiego nie ma, tylko masz wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f}\).

JK

[Bran]

Ty nie masz wyznaczyć "przeciwobrazu na całości funkcji", bo czegoś takiego nie ma

Dlaczego czegoś takiego nie ma? Jeżeli jest bijekcją, to przeciwobraz takiej funkcji powinien chyba istnieć i być całym zbiorem argumentów funkcji. Czy się mylę?

[a4karo]

No nie ma czegoś takiego jak "całość funkcji"

[Bran]

Użyłem słownictwa takiego jak Pan Jan Kraszewski, mam na myśli raczej całą przeciwdziedzinę zamiast tylko jej części - to chyba możliwe? No i w przypadku bijekcji mamy wtedy całą dziedzinę jako przeciwobraz.
Nie rozumiem w czym konkretnie jest problem.

Znaczy OK, to że w zadaniu chodzi najpewniej o funkcję odwrotną, a nie przeciwobraz, to wierzę - ale zastanawiają mnie słowa, które zacytowałem w poprzednim poście. Jak mam je rozumieć?

[DJcarolo23]

Dziękuje za pomoc. Teraz trochę mi głupio, że pomyliłem znak odwrotności z przeciwobrazem, ale przynajmniej już wiem, o co chodzi.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego czegoś takiego nie ma? Jeżeli jest bijekcją, to przeciwobraz takiej funkcji powinien chyba istnieć i być całym zbiorem argumentów funkcji. Czy się mylę?

Mylisz się z powodów terminologicznych.

Nie ma czegoś takiego jak "przeciwobraz funkcji". W wypadku terminu "przeciwobraz" mamy zawsze do czynienia z "przeciwobrazem zbioru przez funkcję".

JK

[Bran]

Już rozumiem, dziękuję.