równanie z parametrem

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 3 razy

równanie z parametrem

Post autor: ann_u » 16 paź 2019, o 14:15

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k = 1}^{2007}|x+k|+|x-k|}\). Ile wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ f(a^2-3a+2)=f(a-1)}\)?

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 123 razy

Re: równanie z parametrem

Post autor: Slup » 18 paź 2019, o 19:34

Obserwacja jest taka, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest sumą odległości punktu \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) od punktów ze zbioru
$$Z = \{-2007, ...,-1, 1, ..., 2007\}$$
Z tego wynika, że:
1. \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta (no to jest jasne, bo zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest symetryczny względem zera).
2. \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -1)}\), bo przy przesuwaniu się zmiennej \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -\infty}\) od \(\displaystyle{ -1}\) część odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) maleje jednostajnie i pozostała część odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) tak samo jednostajnie rośnie - jednak tych pierwszych jest zawsze więcej niż niż tych drugich.
3. \(\displaystyle{ f}\) jest stała na przedziale \(\displaystyle{ [-1, 1]}\), bo przy przesuwaniu się \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) tyle samo odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) rośnie jednostajnie co maleje.
4. \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\). Argument taki sam jak w punkcie 2 albo można skorzystać z parzystości z punktu 1 i stwierdzenia z punktu 2.

Jeżeli kogoś nie satysfakcjonuje uzasadnienie tych własności, które korzysta z obserwacji, to zachęcam policzyć wartości funkcji w punktach zbioru \(\displaystyle{ Z}\). Między dwoma sąsiednimi punktami tego zbioru \(\displaystyle{ f}\) jest liniowa i w ten sposób można alternatywnie uzyskać te własności.

Z powyższych własności natychmiast uzyskujemy, że równanie

\(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2)}\)

ma następujące rozwiązania:

\(\displaystyle{ \left(x_1 = -x_2 \mbox{ oraz }x_1 \in (-\infty, -1)\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(x_1, x_2 \in [-1, 1]\right)}\).

Stąd równanie

$$f(a-1) = f(a^2 - 3a +2)$$

ma następujące rozwiązania:

\(\displaystyle{ \left(1 - a = a^2 - 3a + 2\mbox{ oraz }1-a \in (-\infty, -1)\cup (1,+\infty)\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(a-1, a^2-3a +2\in [-1,1]\right)}\)

Wyznaczenie wartości \(\displaystyle{ a}\) jest teraz zadaniem na poziomie licealnym.

ODPOWIEDZ