Odwrotność funkcji

[Bozydar12]

Zadanie: Znaleźć funkcję odwrotną \(\displaystyle{ f: (-\infty,-1] \rightarrow (-\infty,3], f(x)=2-2x+x^2}\)
Z tym nie miałem zbytniego problemu, wychodzi:
\(\displaystyle{ y= -1- \sqrt{-1-x} \vee y=-1+ \sqrt{-1-x} }\)
Problem pojawia się z tym, którą z części rozwiązania powinienem interpretować jako wynik, nie mogę powiązać tego z dziedziną i przeciwdziedziną z zadania, chciałbym poznać sposób.

[ppr]

Ta funkcja jest źle określona. Wyrażenie \(\displaystyle{ 2-2x+x^2}\) dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty,-1]}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ [5, \infty)}\), nie może więc być funkcją w zbiór \(\displaystyle{ (-\infty, 3]}\).

Wyrażenia \(\displaystyle{ y=-1 \pm \sqrt{-1-x}}\) (rozpatrywane w liczbach rzeczywistych) mają sens tylko dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty,-1]}\),

Podejrzewam, że pomieszały się oznaczenia. Na pewno będzie łatwiej powiązać końcowe wzory z dziedziną i przeciwdziedziną, jeżeli te będą zapisane poprawnie. Spróbuj poprawić.

[Bozydar12]

Oczywiście, błąd w przepisaniu zadania z mojej strony.
\(\displaystyle{ f(x)=2-2x- x^{2} }\)
wtedy rozwiązania to:
\(\displaystyle{ y=-1- \sqrt{3-x} \vee y=-1+ \sqrt{3-x}}\)
i teraz przy poprawnych wartościach ponawiam pytanie, która część jest tą właściwą?

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) =-x^2 -2x +2 = -(x+1)^2 + 3}\)

Kiedy dla danej funkcji \(\displaystyle{ f }\) istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1} ?}\)

W tytule, to nie jest odwrotność funkcji tylko - funkcja odwrotna.

[Jan Kraszewski]

Oczywiście, błąd w przepisaniu zadania z mojej strony.
\(\displaystyle{ f(x)=2-2x- x^{2} }\)
wtedy rozwiązania to:
\(\displaystyle{ y=-1- \sqrt{3-x} \vee y=-1+ \sqrt{3-x}}\)
i teraz przy poprawnych wartościach ponawiam pytanie, która część jest tą właściwą?

A co jest dziedziną funkcji odwrotnej do Twojej funkcji \(\displaystyle{ f}\) ? Powinieneś to wiedzieć, a ta wiedza wystarcza do odpowiedzi na Twoje pytanie.

JK

[Dasio11]

A co jest dziedziną funkcji odwrotnej do Twojej funkcji \(\displaystyle{ f}\) ?

Chciałeś raczej zapytać: co jest przeciwdziedziną funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f}\)?

[Jan Kraszewski]

Chciałeś raczej zapytać: co jest przeciwdziedziną funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f}\)?

Czytasz w moich myślach...

JK

[Bozydar12]

Skoro \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B}\), to \(\displaystyle{ f ^{-1} :B \rightarrow A}\).
Pytanie, czy obliczone wartości wyżej są poprawne i jeżeli tak, to czy sformułowana odpowiedź powinna zawierać informację, że \(\displaystyle{ f^{-1}:(-\infty,3] \rightarrow (-\infty, -1]}\). Który z dwóch wyników jest odpowiedzią(spoglądam na wykres i nie rozumiem)

[Jan Kraszewski]

Dla którego z dwóch wzorów:

\(\displaystyle{ y=-1- \sqrt{3-x} \vee y=-1+ \sqrt{3-x}}\)

funkcja przyjmuje wartości w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty, -1]}\) ?

JK

[Bozydar12]

Dla wybranego dowolnie punktu zawierającego się w danej dziedzinie (z zadania) dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) biorę punkt \(\displaystyle{ P(2,-2)}\).
Sprawdzam, na którym z dwóch wykresów znajduje się ten punkt, wychodzi iż dla \(\displaystyle{ y=-1- \sqrt{3-x} }\)
Innym sposobem sprawdzam zbiór wartości funkcji, w podobny sposób otrzymuję powyższy wzór.
Czy stąd odpowiedzią do zadania powinno być \(\displaystyle{ f ^{-1}:(-\infty,3] \rightarrow (-\infty,-1]}\) \(\displaystyle{ f(x)=-1-\sqrt{3-x}}\)?

[Jan Kraszewski]

Dla wybranego dowolnie punktu zawierającego się w danej dziedzinie (z zadania) dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) biorę punkt \(\displaystyle{ P(2,-2)}\).
Sprawdzam, na którym z dwóch wykresów znajduje się ten punkt, wychodzi iż dla \(\displaystyle{ y=-1- \sqrt{3-x} }\)

Trochę dziwne jest to sprawdzanie punktu (pomijając już, że ten punkt nie "zawiera się w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f}\)", bo ani się nie "zawiera", ani w "dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f}\)"...), bo nie bardzo wiadomo, co tak naprawdę robisz.

Najbardziej naturalny sposób sprawdzenia to wzięcie argumentu z dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}}\) i sprawdzenie, która z domniemanych wartości tej funkcji należy do jej przeciwdziedziny. Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}}\) znasz bowiem wcześniej niż jej wzór, gdyż ta informacja bezpośrednio wynika z tego, że \(\displaystyle{ f: (-\infty,-1] \rightarrow (-\infty,3]}\).

Czy stąd odpowiedzią do zadania powinno być \(\displaystyle{ f ^{-1}:(-\infty,3] \rightarrow (-\infty,-1]}\) \(\displaystyle{ f(x)=-1-\sqrt{3-x}}\)?

Tak.

JK

[ppr]

Czy końcowy zapis \(\displaystyle{ f(x)=-1-\sqrt{3-x}}\) nie jest przypadkiem mylący? Moim zdaniem odpowiedź lepiej zapisać jako \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=-1-\sqrt{3-x}}\), nie wprowadza to niepotrzebnego zamieszania, zwłaszcza, że w sygnaturze pojawia się \(\displaystyle{ f^{-1}}\).

[Jan Kraszewski]

A tak, to oczywiście pomyłka w odpowiedzi. Tam zdecydowanie nie można użyć \(f(x)\).

JK

[Bozydar12]

Najbardziej naturalny sposób sprawdzenia to wzięcie argumentu z dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}}\) i sprawdzenie, która z domniemanych wartości tej funkcji należy do jej przeciwdziedziny. Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}}\) znasz bowiem wcześniej niż jej wzór, gdyż ta informacja bezpośrednio wynika z tego, że \(\displaystyle{ f: (-\infty,-1] \rightarrow (-\infty,3]}\).

To właśnie to zrobiłem, tylko trochę "na okrętkę" to opisałem.
W każdym razie bardzo dziękuję za pomoc.

[janusz47]

Sposób graficzny

Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -x^2 -2x +2 = -(x+1)^2 +3 }\)

Bierzemy pod uwagę część wykresu tej paraboli \(\displaystyle{ f_{|(-\infty, -1]} }\) - odpowiadającą argumentom należącym do dziedziny \(\displaystyle{ (-\infty, -1 ]. }\)

Widzimy, że w tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest "monotoniczna-rosnąca" i "na", istnieje więc funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}. }\)

Rysujemy w tym samym układzie współrzędnych prostą \(\displaystyle{ y = x. }\)

Odbijamy symetrycznie \(\displaystyle{ f_{|(-\infty, -1]} }\) względem tej prostej.

Otrzymujemy wykres funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}_{|(-\infty, -1]}. }\)

Widzimy, że leży on poniżej osi \(\displaystyle{ OX }\)

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = - \sqrt{3- x} -1. }\)