Przedziały monotoniczności
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Przedziały monotoniczności
Mam mały problem przy wyznaczaniu monotoniczności funkcji nieciągłych. Proszę o sprawdzenie czy ja dobrze rozumuję:
Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} x-1 &\hbox{dla } x \leq0\\1&\hbox{dla } x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ g(x) =\begin{cases} x+1 &\hbox{dla } x \leq0\\-1&\hbox{dla } x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ h(x) =\begin{cases} x-1 &\hbox{dla } x <0\\1&\hbox{dla } x\geq 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z(x) =\begin{cases} x+1 &\hbox{dla } x <0\\-1&\hbox{dla } x\geq 0 \end{cases}}\)
I teraz odpowiedzi:
\(\displaystyle{ f\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ f=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ g\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ g=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ h\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ h=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ z\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0) \ \ , \ z=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
Oczywiście zabawa się rozchodzi o te przedziały. Kiedy domykamy, a kiedy nie.
Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} x-1 &\hbox{dla } x \leq0\\1&\hbox{dla } x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ g(x) =\begin{cases} x+1 &\hbox{dla } x \leq0\\-1&\hbox{dla } x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ h(x) =\begin{cases} x-1 &\hbox{dla } x <0\\1&\hbox{dla } x\geq 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z(x) =\begin{cases} x+1 &\hbox{dla } x <0\\-1&\hbox{dla } x\geq 0 \end{cases}}\)
I teraz odpowiedzi:
\(\displaystyle{ f\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ f=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ g\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ g=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ h\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ h=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ z\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0) \ \ , \ z=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
Oczywiście zabawa się rozchodzi o te przedziały. Kiedy domykamy, a kiedy nie.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Przedziały monotoniczności
\(\displaystyle{ f\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ f=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in(0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ g\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ g=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in(0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ h\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ h=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ z\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0) \ \ , \ z=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
Edit: chyba jednak tak będzie poprawnie.
\(\displaystyle{ g\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ g=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in(0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ h\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0] \ \ , \ h=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
\(\displaystyle{ z\nearrow \ \ \hbox{dla} \ x\in(-\infty, 0) \ \ , \ z=\hbox{const} \ \ \hbox{dla} \ x\in[0,+\infty)}\)
Edit: chyba jednak tak będzie poprawnie.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Przedziały monotoniczności
A tak, masz rację. Skoncentrowałem się na pierwszej części odpowiedzi.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Przedziały monotoniczności
Odpowiedź zależy od definicji funkcji rosnącej.
Jeżeli funkcja rosnąca to funkcja spełniająca warunek \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)<f(y)}\), to odpowiedzi sa poprawne.
Przy definicji (równie często spotykanej) \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)\leq f(y)}\) już tak nie jest.
Jeżeli funkcja rosnąca to funkcja spełniająca warunek \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)<f(y)}\), to odpowiedzi sa poprawne.
Przy definicji (równie często spotykanej) \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)\leq f(y)}\) już tak nie jest.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Przedziały monotoniczności
To właśnie napisałem:a4karo pisze: ↑12 wrz 2019, o 21:34 Odpowiedź zależy od definicji funkcji rosnącej.
Jeżeli funkcja rosnąca to funkcja spełniająca warunek \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)<f(y)}\), to odpowiedzi sa poprawne.
Przy definicji (równie często spotykanej) \(\displaystyle{ \forall x,y (x<y)\Rightarrow f(x)\leq f(y)}\) już tak nie jest.
JKJan Kraszewski pisze: ↑12 wrz 2019, o 20:33 Jeżeli monotoniczność rozpatrujesz w silnym sensie, to dobrze.
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Przedziały monotoniczności
Jeśli nierówność pomiędzy wartościami funkcji jest słaba to wówczas mówimy po prostu o funkcji słabo rosnącej / słabo malejącej. Dziękuję raz jeszcze za pomoc.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Przedziały monotoniczności
To akurat zależy od przyjętej terminologii. Można albo mówić o funkcji słabo rosnącej i rosnącej, albo o rosnącej i ściśle/silnie rosnącej.
JK