Znalazłem zadanie dotyczące podania przedziałów monotoniczności poniższej funkcji:
AU
U35xrcl.png (15.44 KiB) Przejrzano 351 razy
Odpowiedzi do tego zadania są następujące:
stała dla \(\displaystyle{ xin[-6, 4)}\) oraz \(\displaystyle{ x\in\{-3,-2,-1,0\}}\), malejąca dla \(\displaystyle{ x\in(1,5]}\)
Zastanawia mnie czy poprawnym byłoby stwierdzenie że funkcja jest także stała w każdym punkcie należącym do przedziału \(\displaystyle{ (1;5]}\) (każdy punkt traktowalibyśmy jako oddzielny przedział)?
Niezbyt to przydatne i raczej filozoficzne pytanie, ale ciekawi mnie czy jest to zgodne z definicją przedziału monotonicznośći funkcji.
A jak definiujesz pojecie: funkcja stała w punkcie?
Mówienie o monotoniczności w zbiorze jednopunktowym nie ma sensu, bo jej ideą jest porównywania wartości funkcji w różnych punktach
Pojęcie, o którym myślisz, nie jest zbyt użyteczne. Każda funkcja jest "stała w punkcie"
Natomiast innym, przydatniejszym terminem, jest funkcja stała lokalnie. Do jej zdefiniowania potrzebna jest znajomość topologii. Funkcję \(\displaystyle{ f \colon A \to B}\) nazywamy lokalnie stałą, jeśli każdy punkt \(\displaystyle{ a \in A}\) posiada otoczenie otwarte \(\displaystyle{ U}\) takie, że obcięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) do \(\displaystyle{ U}\) jest funkcją stałą.
Gosda pisze:Pojęcie, o którym myślisz, nie jest zbyt użyteczne. Każda funkcja jest "stała w punkcie"
Natomiast innym, przydatniejszym terminem, jest funkcja stała lokalnie. Do jej zdefiniowania potrzebna jest znajomość topologii. Funkcję \(\displaystyle{ f \colon A \to B}\) nazywamy lokalnie stałą, jeśli każdy punkt \(\displaystyle{ a \in A}\) posiada otoczenie otwarte \(\displaystyle{ U}\) takie, że obcięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) do \(\displaystyle{ U}\) jest funkcją stałą.
Każda funkcja stała jest lokalnie stała.
Twierdzenie: każda funkcja lokalnie stała na odcinku \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest stała
