Trzy nierówności

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną i taką, że

\(\displaystyle{ |f(x)| \leq A}\) i \(\displaystyle{ |f^{\prime \prime}(x)| \leq B}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).

Udowodnić, że \(\displaystyle{ |f^{\prime}(x)| \leq \sqrt{2AB}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).

[Tmkk]

Z Taylora ładnie wychodzi, że pierwsza pochodna jest ograniczona przez \(\displaystyle{ 2\sqrt{AB}}\). Stąd też moje pytanie - czy dwójka powinna być pod pierwiastkiem?

Przepraszam, teza jest ok, trzeba trochę sprytniej.

Rozpisujemy w Taylora:

\(\displaystyle{ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{1}{2}f''(c)h^2}\)
\(\displaystyle{ f(x-h) = f(x) - f'(x)h + \frac{1}{2}f''(d)h^2}\)

gdzie \(\displaystyle{ c \in \left[ x, x+h\right]}\), \(\displaystyle{ d \in \left[ x-h,x\right]}\)

Teraz wystarczy odjąć stronami, podzielić przez \(\displaystyle{ h}\) i dostaniemy

\(\displaystyle{ \left| f'(x)\right| = \left| \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} - \left(\frac{f''(c)-f''(d)}{4}h\right)\right| \le \frac{A}{h} + \frac{Bh}{2}}\)

I najmniejsza możliwa wartości po prawej (ze średniej AM-GM) to \(\displaystyle{ 2\sqrt{\frac{AB}{2}}= \sqrt{2AB}}\).

[Premislav]

Z tą nierównością się zgadzam:

\(\displaystyle{ \left| f'(x)\right| = \left| \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} - \left(\frac{f''(c)-f''(d)}{4}h\right)\right| \le \frac{A}{h} + \frac{Bh}{2}}\)

tylko dalej pojawia się pytanie, jak z tego, że \(\displaystyle{ X\le Y}\) i \(\displaystyle{ Z\le Y}\) ma wynikać, że \(\displaystyle{ X\le Z}\)? Otóż nijak.

[Tmkk]

?

Prawa strona nie zależy do \(\displaystyle{ x}\). Dla różnych \(\displaystyle{ h}\) dostajemy różne ograniczenia. Najmniejsze jaki możemy uzyskać to \(\displaystyle{ \sqrt{2AB}}\) biorąc \(\displaystyle{ h = \sqrt{2\frac{A}{B}}}\)

[Premislav]

A rzeczywiście, mój błąd, przepraszam, jest wszystko OK. Przecież \(\displaystyle{ h}\) możemy dobrać tak, żeby zminimalizować prawą stronę.