Znaleźć postacie normalne funkcji w otoczeniu (0,0)

[linq007]

Korzystając z twierdzenia Morse'a znaleźć postacie normalne funkcji w otoczeniu punktu (0,0):

Dane:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = x_{1}^{2}\cos \left( x _{3} \right) +x _{2}x _{3}+x_{3} ^{2}
x_{x}= \left( 0,0 \right)}\)

Sprawdzam, czy\(\displaystyle{ f \left( x_{0} \right) =0}\) i tak faktycznie jest więc liczę pierwszą pochodną:

\(\displaystyle{ Df \left( x \right) = \left[ 2x_{1}\cos \left( x_{3} \right) , x_{3}, -x_1^{2}\sin \left( x_3 \right) +x_2+2x_3 \right]}\)

Teraz sprawdzam czy \(\displaystyle{ Df \left( x_{0} \right) =0}\) i również jest to prawda, więc liczę drugą pochodną. Otrzymuję macierz:
\(\displaystyle{ D^{2}f \left( x \right) = \left[
\begin{array}{ccc}
2\cos x_3 & 0 & -2x_{1}\sin \left( x_3 \right) \\
0 & 0 & 1\\
-2x_{1}\sin \left( x_3 \right) &1 & -x_1^{2}\cos \left( x_3 \right) +2
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Sprawdzam czy rząd macierzy jest równy \(\displaystyle{ n=3}\), bo tylko wtedy obowiązuje tw. Morse'a:
\(\displaystyle{ rankD^{2}f \left( x_0 \right) = \left[
\begin{array}{ccc}
2&0&0\\
0 & 0 & 1\\
0&1&2
\end{array}
\right]
\qquad}\)
Rząd jest równy 3 więc obowiązuje tw. Morse'a. Podstawiam na głównej przekątnej \(\displaystyle{ \left( I\lambda-D^{2}f \left( x_0 \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ det \left( I\lambda-D^{2}f \left( x_0 \right) \right) = \left[
\begin{array}{ccc}
\lambda-2&0&0\\
0 & \lambda & 1\\
0&1&\lambda-2
\end{array}
\right]
\qquad}\)
\(\displaystyle{ det \left( I\lambda-D^{2}f \left( x_0 \right) \right) = \lambda \left( \lambda-2 \right) ^{2}-\lambda+2}\)

Z tego wynika, że miejsca zerowe będą w wartościach:
\(\displaystyle{ \lambda=2 \vee
\lambda=1- \sqrt{2} \vee
\lambda=12 \sqrt{2}}\)
Jedna wartość własna macierzy jest ujemna, więc postać normalna funkcji będzie wyglądała:
\(\displaystyle{ g \left( \xi \right) =-\xi_{1}^2+\xi_{2}^2+\xi_{3}^2}\)

Czy poprawnie rozwiązałem to zadanie?

Jeśli tak, to takim samym tokiem rozumowania rozwiązałem kolejne zadanie:

Dane:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =x_1x_2+x_2x_3-x_1x_3}\)
\(\displaystyle{ f \left( x_0 \right) =0}\)

Liczę pochodną:
\(\displaystyle{ Df \left( x \right) = \left[ x_2-x_3, x_1+x_3, x_2-x_1 \right]}\)

\(\displaystyle{ Df \left( x_0 \right) =0}\)

Liczę drugą pochodną:

\(\displaystyle{ D^{2}f \left( x_0 \right) = \left[
\begin{array}{ccc}
0 &1 &-1\\
1&0&1\\
-1&1&0
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Rząd macierzy drugiej pochodnej wynosi 3. Czyli stosuję tw. Morse'a:
\(\displaystyle{ det \left( I\lambda-D^{2}f \left( x_0 \right) \right) = \left[
\begin{array}{ccc}
\lambda &1 &-1\\
1&\lambda&1\\
-1&1&\lambda
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Otrzymuję wielomian \(\displaystyle{ \lambda^3-3\lambda-2}\)

Wielomian ma dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ \lambda=-1}\)
\(\displaystyle{ \lambda=2}\)

Postać normalna funkcji:\(\displaystyle{ }\)\(\displaystyle{ g \left( \xi \right) =-\xi_{1}^2+\xi_{2}^2}\)