Dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) funkcja jest odwracalna?
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2x-1} &\mbox{gdy } x\neq \frac{1}{2} \\ k &\mbox{gdy } x= \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Pomoże ktoś? Bo na studiach miałam to 10 lat temu i trochę wyleciało z głowy
Funkcja odwracalna
-
kocica
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 14 maja 2008, o 13:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 2 razy
Funkcja odwracalna
Ostatnio zmieniony 23 mar 2019, o 00:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcja odwracalna
Odnotujmy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) spełnia \(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{1}{(2x-1)^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq \frac 1 2}\), czyli jest malejąca w przedziałach \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac 1 2\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, +\infty\right)}\), ponadto oczywiście jest ciągła na zbiorze \(\displaystyle{ \RR\setminus \left\{ \frac 1 2\right\}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}f(x)=\frac 1 2}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac 1 2^{+}} f(x)=+\infty}\).
Poza tym mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(x)=\frac 1 2}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac 1 2^{-}}f(x)=-\infty}\).
Ponieważ funkcja jest malejąca w przedziałach \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac 1 2\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, +\infty\right)}\) i z powyższych warunków wynika, że
\(\displaystyle{ f(x)<\frac 1 2}\) dla \(\displaystyle{ x<\frac 1 2}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)>\frac 1 2}\) dla \(\displaystyle{ x>\frac 1 2}\), zatem \(\displaystyle{ f}\) obcięta do zbioru \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ \frac 1 2\right\}}\) jest różnowartościowa, tj. jest bijekcją na swój obraz, którym jest, co wynika z ciągłości poza jedną drugą i wspomnianych granic (tw. Darboux), \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ \frac 1 2\right\}}\). Czyli dla \(\displaystyle{ k=\frac 1 2}\) funkcja \(\displaystyle{ f: \RR\rightarrow \RR}\) jest odwracalna, bo jest bijekcją z \(\displaystyle{ \RR}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), natomiast dla \(\displaystyle{ k\neq \frac 1 2}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest nawet różnowartościowa.
Poza tym mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(x)=\frac 1 2}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac 1 2^{-}}f(x)=-\infty}\).
Ponieważ funkcja jest malejąca w przedziałach \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac 1 2\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, +\infty\right)}\) i z powyższych warunków wynika, że
\(\displaystyle{ f(x)<\frac 1 2}\) dla \(\displaystyle{ x<\frac 1 2}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)>\frac 1 2}\) dla \(\displaystyle{ x>\frac 1 2}\), zatem \(\displaystyle{ f}\) obcięta do zbioru \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ \frac 1 2\right\}}\) jest różnowartościowa, tj. jest bijekcją na swój obraz, którym jest, co wynika z ciągłości poza jedną drugą i wspomnianych granic (tw. Darboux), \(\displaystyle{ \RR\setminus\left\{ \frac 1 2\right\}}\). Czyli dla \(\displaystyle{ k=\frac 1 2}\) funkcja \(\displaystyle{ f: \RR\rightarrow \RR}\) jest odwracalna, bo jest bijekcją z \(\displaystyle{ \RR}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), natomiast dla \(\displaystyle{ k\neq \frac 1 2}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest nawet różnowartościowa.