Opisanie dowolnej funkcji wzorem

[pablo9948]

Czy dowolną funkcję można opisać bez użycia przedziałów skończonym wzorem? Mam przeczucie, że tak. Nieważne jak skomplikowaną, dziwną, nieintuicyjną funkcję sobie narysujemy czy frywolnie nabazgrzemy.


Czy to prawda? Czy istnieją jakieś twierdzenia w tej materii? Jaki jest stan wiedzy w tej dziedzinie?

[Jan Kraszewski]

Nieważne jak skomplikowaną, dziwną, nieintuicyjną funkcję sobie narysujemy czy frywolnie nabazgrzemy.

Tak naprawdę narysować możemy bardzo niewiele funkcji, niezależnie od tego, jak nieintuicyjnie będziemy bazgrać...

JK

[bartek118]

Poza tym, co oznacza pojęcie "skończony wzór"?

[Jan Kraszewski]

Poza tym, co oznacza pojęcie "skończony wzór"?

To ważne pytanie, bo skoro wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ \RR}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) jest \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\), to może wystarczy oszacować od góry liczbę "skończonych wzorów" by okazało się, że odpowiedź jest negatywna...

JK

[bartek118]

Skończonych wzorów ogólnie jest bardzo mało. Mamy skończenie wiele znaczków i każdy wzór składa się z jedynie skończonej liczby takich znaczków.

[a4karo]

No nie. Jeden wzoru może opisywać nieskończenie wiele funkcji, ale to i tak za mało.

[pablo9948]

Każda funkcja jest opisywalna przedziałami nie ma znaczenia jak dziwna, zawsze można ją podzielić na takie małe kawałki, że staje się ona na tym kawałeczku prostą. Ten fragmencik, tak samo nachylony może się gdzieś jeszcze w funkcji przytrafić albo nawet nieskończenie wiele razy (np gdy mamy funkcję y=ax+b , to jest powtarzający się mały kawałeczek). Czy można wymyślić jakiś operator albo zapis, który będzie właśnie zarządzał tym jak często dany fragmencik ma się pojawiać i kiedy? Tak jak funkcja sinus jest okresowa tak każda inna funkcja będzie wypadkową podfunkcji, które okresowo się powtarzają (przy odrobinie szczęścia tak przystępnie jak w y= ax+b) albo (przy skomplikowanych funkcjach) okres ujawniania się zmienia się okresowo, albo jeszcze gorzej okres zmian okresu też się zmienia okresowo itd... jednak gdzieś zajdziemy taki wariant, że koszmarną nieskończoną funkcję zapiszemy np tak:

y= (wyrażenie okresowości 1)f(x) + (wyrażenie okresowości 2)h(x) + (wyrażenie okresowości 3)g(x)

No i załóżmy że określenie: (wyrażenie okresowości 1: stopnia 3)p(x)
Oznacza, że funkcja p(x) ujawnia się po okresie T który zmienia się okresowo a okres zmian zmienia się z jakimś okresem. 3 warstwy zmian okresów dlatego określenie stopnia 3. Możliwe?

[Janusz Tracz]

1) To nieprawda, że każdą funkcję da się przybliżyć prostą w pewnym przedziale. Poza tym przybliżenie funkcji to nie dokładna funkcja.
2) Myślisz o funkcjach bardzo porządnych nieświadomie zakładając, że są ciągłe i gładki a jak coś się psuje to tylko w kilku punktach. A to nie wyczerpuje przykładów, można pomyśleć nad bardziej egzotycznymi przypadkami funkcji których nawet nie będzie można narysować. Przykładowo Funkcja Dirichleta lub Funkcja Weierstrassa albo jeszcze bardziej wymyślne przypadki
3) Jak chcesz przedstawić wszystkie funkcje wzorami bez przedziałów to funkcję "wyrażenie okresowości" też powinieneś przedstawić jawnie.
4) To są przesłanki, że się tego nie da zrobić dowody już były a to taka heurystyka.

[Dilectus]

Czy dowolną funkcję można opisać bez użycia przedziałów skończonym wzorem?

Nie. Weźmy na przykład funkcję Dirichleta, czyli funkcję, która każdej liczbie wymiernej przypisuje wartość 1, a każdej liczbie niewymiernej - wartość 0.

[pablo9948]

Załóżmy, że istnieje jakiś kompletny wzór fizyczny opisujący wszystko idealnie, deterministycznie. Zgodnie z tym wzorem funkcjonuje cały wszechświat. Ta funkcja opisywałaby także każdy możliwy stan ludzkiego umysłu jaki istniał albo będzie istnieć zatem opisywałaby całą ludzką matematykę i wszystkie wyobrażenia koncepcje, idee itd.

Po prostu:

Nasz świat, cała informacja, która dotarła do ludzkich mózgów
MA SIĘ DO
wszystkich naszych koncepcji, wyobrażeń, matematyki
JAK
wzór Kompletny akurat opisujący informacje docierające do umysłów
MA SIĘ DO
wzoru Kompletnego akurat opisującego wszystkie nasze koncepcje wyobrażenia, matematykę (w tym te funkcje, których się niby jednym wzorem nie da rady opisać)

Skoro udowodnione zostało, że pojedynczym wzorem nie da się opisać dowolnej funkcji albo stanu czy coś no to nie jest możliwa teoria wszystkiego-jeden wzorek deterministyczny?