Równanko

[Dasio11]

Hej. Prosiłbym o rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ (x-3)^{x+2} = 1}\)

w liczbach rzeczywistych.

[a4karo]

Kiedy liczba podniesiona do jakiejkolwiek potęgi jest równa \(\displaystyle{ 1}\)?

[karolex123]

Myślę, że \(\displaystyle{ \left\{ 4, -2\right\}}\) jest oczywistym podzbiorem zbioru rozwiązań.
Pytanie, czy są to jedyne liczby spełniające równanie

[Jan Kraszewski]

No niekoniecznie. Pytanie jest, jak ustalamy dziedzinę tego równania, a od tego należałoby zacząć.

JK

PS
W zdaniu

Myślę, że podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ 4, -2\right\}}\) jest oczywistym podzbiorem zbioru rozwiązań.

coś za dużo tych podzbiorów jest...

[Dasio11]

Pytanie jest, jak ustalamy dziedzinę tego równania, a od tego należałoby zacząć.

I w tym właśnie jest sęk!

No więc jak ustalić dziedzinę tego równania?

[karolex123]

No niekoniecznie. Pytanie jest, jak ustalamy dziedzinę tego równania, a od tego należałoby zacząć.

Jak więc interpretować pogrubiony napis:

Hej. Prosiłbym o rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ (x-3)^{x+2} = 1}\)

w liczbach rzeczywistych.

?
Chodzi (w kwestii dziedziny) o maksymalny (w sensie inkluzji zbiorów) podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie po lewej stronie równania ma sens? A może o coś innego? Być może to tylko sygnał, że dziedzina ma być jakimś tam podzbiorem prostej, czego tak niestety nie odebrałem. Proszę wybaczyć, jeśli źle zinterpretowałem ów napis

[_Michal]

Myślę, że \(\displaystyle{ \left\{ 4, -2\right\}}\) jest oczywistym podzbiorem zbioru rozwiązań.
Pytanie, czy są to jedyne liczby spełniające równanie

No nie: \(\displaystyle{ (2-3)^{(2+2)}=1}\)

[karolex123]

_Michal, wstawiłeś do równania \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ -2}\):
\(\displaystyle{ \left( -2-3\right)^{-2+2}=\left( -5 \right)^0 =1}\)-- 6 paź 2018, o 16:49 --A przepraszam, teraz widzę co chciałeś przekazać
Do tego podzbioru możemy więc także dopisać \(\displaystyle{ 2}\)

[matmatmm]

W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie \(\displaystyle{ a^b}\) ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ a>0, b\in\RR}\) lub
\(\displaystyle{ a=0, b>0}\) lub
\(\displaystyle{ a<0, b\in\ZZ}\).

[Dilectus]

Po chwili namysłu zgadłem rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x=1}\)

[Janusz Tracz]

Dilectus jak Ci wyszło \(\displaystyle{ 1}\)?

To zadanie z cyklu w którym przyjęta dziedzina ma znaczenie. Uważam że ograniczanie się do \(\displaystyle{ x-3>0}\) i argumentowanie tego tym że jest to założenie funkcji wykładniczej jest błędem takim samym jak liczenie pochodnej \(\displaystyle{ x^x}\) ze wzorów na funkcję wykładniczą. Funkcja po prawej wykładnicza nie jest dlatego rozpatrywał bym to innymi metodami (czyli kiedy wyrażanie ma sens). Uważam że rozwiązania to \(\displaystyle{ -2,2,4}\) bo każda z tych liczb podstawiona do równania ma "sensowne liczbowy" i spełnia równanie.

Ciekawszy mógł by być przykład z funkcją kwadratową w podstawie i wykładniku. Można dobrać to tak by wystawienie zera za wykładnik implikowało zero w podstawie albo coś w stylu. Albo podstawianie liczb do ujemnych niecałkowitych potęg... możliwości jest dużo.

[kerajs]

W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie \(\displaystyle{ a^b}\) ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ a>0, b\in\RR}\) lub
\(\displaystyle{ a=0, b>0}\) lub
\(\displaystyle{ a<0, b\in\ZZ}\).

Dlaczego dla \(\displaystyle{ a<0}\) odrzucasz wymierne \(\displaystyle{ b}\) o nieparzystym mianowniku?


Inną kwestią jest (nie)uwzględnianie w dziedzinie \(\displaystyle{ a=1}\)

. Funkcja po prawej wykładnicza nie jest dlatego rozpatrywał bym to innymi metodami (czyli kiedy wyrażanie ma sens). Uważam że rozwiązania to \(\displaystyle{ -2,2,4}\) bo każda z tych liczb podstawiona do równania ma "sensowne liczbowy" i spełnia równanie. .

Tu dość łatwo stwierdzić kiedy wyrażanie ma sens, ale zwykle jest to kłopotliwe lub (prawie) niemożliwe. Co wtedy?

[matmatmm]

W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie \(\displaystyle{ a^b}\) ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ a>0, b\in\RR}\) lub
\(\displaystyle{ a=0, b>0}\) lub
\(\displaystyle{ a<0, b\in\ZZ}\).

Dlaczego dla \(\displaystyle{ a<0}\) odrzucasz wymierne \(\displaystyle{ b}\) o nieparzystym mianowniku?

Gdyż
\(\displaystyle{ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1}\)

Inną kwestią jest (nie)uwzględnianie w dziedzinie \(\displaystyle{ a=1}\)

Uwzględniłem.

[Dilectus]

Po chwili namysłu zgadłem rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x=\red{1}}\)

To mój oczywisty błąd. Chciałem napisać, że \(\displaystyle{ x=4}\). Przepraszam.

[a4karo]

W kwestii dziedziny: Powiedziałbym, że wyrażenie \(\displaystyle{ a^b}\) ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ a>0, b\in\RR}\) lub
\(\displaystyle{ a=0, b>0}\) lub
\(\displaystyle{ a<0, b\in\ZZ}\).

Dlaczego dla \(\displaystyle{ a<0}\) odrzucasz wymierne \(\displaystyle{ b}\) o nieparzystym mianowniku?

Gdyż
\(\displaystyle{ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1}\)

Inną kwestią jest (nie)uwzględnianie w dziedzinie \(\displaystyle{ a=1}\)

Uwzględniłem.

To jest tylko argument za tym, że dla ujemnych podstaw nie funkcjonują takie same prawa pierwiastkowania jak dla dodatnich.
Najczęściej spotykana jest taka definicja:

Jeżeli \(\displaystyle{ a<0}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{k}{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ l>0}\) i \(\displaystyle{ (k,l)=1}\) (ten warunek jest istotny), to dla parzystych \(\displaystyle{ l}\) wyrażenie \(\displaystyle{ a^b}\) nie ma sensu, a dla nieparzystych \(\displaystyle{ l}\) mamy
\(\displaystyle{ a^b=\begin{cases}
|a|^b & \text{gdy } k \text{ parzyste}\\-|a|^b & \text{gdy }k \text{ nieparzyste}{\end{cases}}\)

W oby przypadkach równanie \(\displaystyle{ a^b=1}\) może nieć rozwiązanie tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a=\pm 1}\) lub \(\displaystyle{ b=0}\)