Ekstremum funkcji dwoch zmiennych

[gutok]

Jak pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = x e^{y^3-x^3}}\) nie ma ekstremów lokalnych?

Warunek konieczny zerowania się pochodnych cząstkowych jest spełniony, macierz Hessego wychodzi mi równa \(\displaystyle{ 0}\).

Proszę o pomoc.

[Premislav]

Zapewne ten punkt, w którym podejrzewasz istnienie ekstremum, to punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ f(0,0)=0}\) oraz że w pobliżu punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje zarówno wartości większe, jak i mniejsze niż \(\displaystyle{ 0}\), co wyklucza istnienie ekstremum w tym punkcie (np. \(\displaystyle{ f\left( \frac 1 n. \frac 1 n\right) =\frac 1 n>0, \ f\left( -\frac 1 n , -\frac 1 n\right) =-\frac 1 n<0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\)).

[gutok]

Podejrzewam punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\sqrt[3]{3}},0 \right)}\) - tam pochodne cząstkowe się zerują

[Janusz Tracz]

To prawda że pochodne się tam zerują. Spróbuj "podejść" do tego punktu od kilku strona tak jak to zaproponował Premislav wcześniej. Okaże się że w otoczeniu (dowolnie małym) tego punkty znajdziesz wartości większe i mniejsze od \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},0 \right)}\) co eliminuje istnienie ekstremum.

[gutok]

Dzieki, co do pierwszego sposobu to próbowałem dobierać ciągi które są zbieżne do punktu \(\displaystyle{ (\frac{1}{\sqrt[3]{3}},0)}\)

np.

\(\displaystyle{ P'_n = ( \frac{1}{\sqrt[3]{3}} + \frac{1}{n}, \frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ P''_n = ( \frac{1}{\sqrt[3]{3}} - \frac{1}{n}, - \frac{1}{n})}\)

Nie widać tego tak dobrze jak dla punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\)

\(\displaystyle{ f(\frac{1}{ \sqrt[3]{3}} + \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{n} \right) e^{(\frac{1}{n})^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{n})^3}}\)

Jak to pokazać sposobem, który proponował Premislav?

[Janusz Tracz]

To znaczy zauważyłem coś takiego że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest rosnąca ze względy na \(\displaystyle{ y}\) więc dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) będziesz miał

\(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}, \frac{1}{n} \right) \ge f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},0 \right) \ge f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},-\frac{1}{n} \right)}\)

a to stoji w sprzeczności z ekstremum w \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},0 \right)}\). Poza tym nie ma innych punktów zerujących pochodne więc nie ma innych podejrzanych punktów stacjonarnych więc nie ma ekstremów.

EDIT: dotyczy czytelności i kolejności przekazywania informacji. Przepraszam za zamieszanie już jest naprawione.