Matematyka.pl

Mam pytanie ogólne do definicji supremum.
Defnicja:
\(\displaystyle{ M= \sup {A}\\
1)\ \forall x \in A \ x \le M\\
2)\ \forall \epsilon > 0 \ \exists \ x _{o} \in A \ M-\epsilon<x_{o}}\)

Jak znajdować to \(\displaystyle{ x_{o}}\)? Czy jest jakaś ogólna zasada? Nie mogę tego nigdzie znaleźć. Wiem, że czasem wykorzystuje się zasadę Archimedesa i to, że zbiór jest gęsty ale mając dowieść np. supremum dla \(\displaystyle{ x\in(- \sqrt{2}, \sqrt{2} )}\) nie wiem co mam zrobić.

Definicja ta ma charakter formalny i jej symbolika jest zbyt trudna dla przeciętnego studenta nie mówiąc o przeciętnym uczniu klasy I liceum, gdzie niektórzy nauczyciele w ten sposób wprowadzają pojęcie kresu.

Postaram się jednakże zinterpretować podany warunek (2) za pomocą pojęcia odległości, uzyskując w ten sposób definicję zarówno poprawną jak i przystępną.

Warunek (2) orzeka, że istnieje zawsze element nazywany tu \(\displaystyle{ x_{0}}\) ) leżący na prawo od \(\displaystyle{ M-\epsilon}\) przy dowolnie dobranym \(\displaystyle{ \epsilon}\) (proszę wykonać rysunek).

Inaczej mówiąc, dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon >0.}\) istnieje element położony w stosunku do \(\displaystyle{ M}\) bliżej niż \(\displaystyle{ \epsilon:}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon>0}\bigvee_{x_{0}\in A} d(x_{0}, M)< \epsilon}\) (1)

lub

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon>0}\bigvee_{x_{0}\in A}|x_{0} - M| < \epsilon}\) (2)


Zatem, żadna liczba mniejsza niż \(\displaystyle{ M}\) nie może być kresem górnym zbioru (spełniać (2)).

Nie możemy " przesunąć M w lewo " na przykład w miejsce \(\displaystyle{ M-\epsilon}\) ponieważ wówczas
"przeskoczylibyśmy jakiś element zbioru".

Warunek (1) lub (2) jest symbolicznym zapisem sformułowania " najmniejsza z liczb".

Przykład

Niech \(\displaystyle{ Z = \{z: z = \sqrt{n+1}- \sqrt{n}, n \in N \}.}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} -\sqrt{n}= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq \frac{1}{1 +\sqrt{2}}= M.}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\) (3)

lub

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z} \left| \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 1\right|< \epsilon}\) (4)

Nierówności (3) lub (4) są prawdziwe w zbiorze liczb naturalnych, więc

\(\displaystyle{ sup Z = \frac{1}{\sqrt{2}+1}.}\)

Nierówność (4) w sposób oczywisty nie jest prawdziwa, a nierówność (3) nijak się ma do tego, co trzeba pokazać.

Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x_{0}= n = 1}\) a nierówność ta będzie spełniona.

Prawdziwość nierówności w jakimś zbiorze oznacza, że dla każdego elementu tego zbioru jest ona spełniona. W tym przypadku tak nie jest.

Sądzę, że robisz wiele szkody takimi postami.

Proszę zapoznać się z definicją kresów zbioru .

janusz47 pisze:Proszę zapoznać się z definicją kresów zbioru .

To nie ma nic wspólnego z definicją kresu zbioru. Piszesz rzeczy nieprawdziwe i w ten sposób wprowadzasz w błąd ludzi, którzy szukają tu pomocy

oto te nieprawdy:

Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

Nie jest.

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z} \left| \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 1\right|< \epsilon}\)

To ewidentna nieprawda, pomijając już fakt, że kwantyfikator egzystencjalny w tym zapisie ma mało sensu

Proszę zapoznać się na przykład z artykułem w czasopiśmie dla nauczycieli MATEMATYKA Nr 1. 1979 Pani Profesor Ireny Gucewicz- Sawickiej " Pojęcie kresu dolnego i górnego zbioru str.32.

Proszę ponadto zapoznać się ze skryptem Roberta Hajłasza. Metodyka rozwiązywania zadań z Analizy Matematycznej. Wyd. Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa 1985.

Ja nie odnoszę się do Pańskich postów, które albo krytykują albo gratulują i nic do merytorycznej dyskusji nie wnoszą.

Czasopisma dla nauczycieli to śmieszne źródło w dyskusji o matematyce; skoro rzecz tyczy się analizy, to dlaczego nie odwołać się do Fichtenholza, Rudina, Maurina (nie czytałem), Lei, Kuratowskiego, Rudnickiego, czy coś w tym stylu. Chyba w dyskusji o fizyce nie powołujesz się na poradnik inżyniera. Zresztą to nie jest odpowiedź na zarzuty niepoprawności, tylko wybicie przeciwnika w dyskusji z rytmu przez odesłanie do autorytetów.
To może konkretniej:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\)
Pomijając całkowity bezsens zapisu
\(\displaystyle{ \bigvee_{x_{0}=1 \in Z}}\), to wartość logiczna zdania
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_0 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\) nie zależy od żadnego \(\displaystyle{ x_0}\), więc cały ten kwantyfikator jest przy takim zapisie zbędny.
Doszliśmy do tego, że powyższe zdanie, jeśli pominiemy to, że źle zapisane, jest równoważne takiemu:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1}\)
ale to po pierwsze nie jest żadna sensacja, gdyż \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1}<1}\), a po drugie w żaden sposób nie wiąże się z przytoczonym przykładem.
Poprawny i sensowny zapis w kontekście tego przykładu mógłby być taki (żeby było analogicznie, użyję nielubianej przeze mnie notacji Kuratowskiego):
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{n_{0} \in \NN^+}\left (\frac{1}{\sqrt{n_0+1}+\sqrt{n_0}} > \frac{1}{1+\sqrt{2}}-\epsilon\right)}\)
i możemy wskazać palcem takie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN^+}\) dobre dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), a mianowicie \(\displaystyle{ n_0=1}\).
To daje nam wniosek, że nie może istnieć mniejsze ograniczenie górne zbioru \(\displaystyle{ Z}\) (wg niezbyt szczęśliwej notacji z postów powyżej) niż
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt{2}}}\).

Natomiast to:

janusz47 pisze:Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

jest po prostu nie do obrony: weźmy dowolny \(\displaystyle{ \epsilon}\) mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1}}\), np. \(\displaystyle{ \epsilon=\frac 1 {14882137}}\). Dla \(\displaystyle{ n=10000}\) mamy wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon > \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

Zapomniałeś o pewnych podstawach lub za mało uważnie pisałeś i teraz próbujesz zatuszować pomyłki, odsyłając do literatury. Tak bym to skomentował:

Zajrzyj do tych publikacji i nie krytykuj profesorów, którzy publikują swoje prace w czasopismach dla nauczycieli i tych którzy piszą skrypty i podręczniki, bo wtedy na pewno nie było Cię jeszcze na świecie.

bo wtedy na pewno nie było Cię jeszcze na świecie.

Miałem być uprzejmy, ale nie będę, jak widzę takie "argumenty". Weź, dobry człowieku, puknij się w czółko (a nuż coś się poprawi), zamiast stosować personalne przytyki, a następnie przeczytaj sobie może książkę Schopenhauera o erystyce i popatrz, jak to się ma do Twoich postów.
Zauważ, że nigdy nie krytykowałem profesorów publikujących gdziekolwiek, skrytykowałem podanie źródła popularnonaukowego (artykułu w czasopiśmie dla nauczycieli) jako argumentu w dyskusji.
Poza tym nie odniosłeś się w żaden sposób do tego, co napisałem, pozostaliśmy w tematyce tego, co kto czytał (polecam tego Schopenhauera, naprawdę). Każdemu zdarza się pomylić, natomiast cechą człowieka niemądrego jest nieumiejętność przyznania się do błędu.
To tyle z mojej strony.

EDIT: gdyby były wątpliwości (można sprawdzić historię edycji), poprawiłem tylko pisownię wyrazu "czasopiśmie".

Młody człowieku, trochę kultury, skromności i przyzwoitości, zdaje Ci się że jesteś wyrocznią, obrażasz!
Przeczytaj sobie artykuł Pani Profesor Gucewicz-Sawickiej i dowód w książce Profesora Roberta Hajłasza na stronie 23, wtedy podyskutujemy.

A mógłbyś janusz47 powiedzieć co konkretnie w argumentacji Premislav'a jest nie tak? Niestety nie mam (pewnie nie tylko ja) dostępu do czasopism dla nauczycieli matematyki z 1979 roku. A nie wygląda to na rzecz, która wymaga argumentu 'autorytetu'.