Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
- VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja f określona wzorem
\(\displaystyle{ [\log_{3}{x}]^2}\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ (0, 1)}\)
\(\displaystyle{ [\log_{3}{x}]^2}\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ (0, 1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
Jaka jest definicja funkcji malejącej \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ P?}\)
Sprawdź, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1).}\)
Sprawdź, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
A po co każesz to sprawdzać jak to nieprawda?janusz47 pisze:
Sprawdź, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
Czy tylko prawdę się sprawdza?
Czy od sprawdzenia monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\), a potem funkcji
\(\displaystyle{ g(x) = f^2(x)}\) (żeby przekonać się jaki wpływ na monotoniczność ma podniesienie do drugiej potęgi) - głowa zaboli od przepracowania się ?
Czy od sprawdzenia monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\), a potem funkcji
\(\displaystyle{ g(x) = f^2(x)}\) (żeby przekonać się jaki wpływ na monotoniczność ma podniesienie do drugiej potęgi) - głowa zaboli od przepracowania się ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
Wsk. Zbadaj znak liczby \(\displaystyle{ \log_3^2 y-\log_3^2 x}\) dla \(\displaystyle{ 0<x<y<1}\)
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
janusz47
Jak użytkownik a4karo zwraca uwagę że coś jest nie tak, to raczej rzeczywiście coś jest nie tak
A co do zadanka to niech \(\displaystyle{ x_1>x_2 \wedge x_1,x_2 \in (0,1)}\)
Badam różnicę:
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=\log ^{2}_3x_1-\log ^{2}_3x_2=(\log _3x_1+\log _3x_2)(\log _3x_1-\log _3x_2)= \\ \log _3x_1x_2 \cdot \log _3 \frac{x_1}{x_2}}\)
Z zał \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in (0,1) \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \in (0,1) \Rightarrow \log _3x_1x_2<0}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ x_1>x_2 \Rightarrow \frac{x_1}{x_2}>1 \Rightarrow \log _3 \frac{x_1}{x_2}>0}\)
Z tego wniosek że \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)<0}\), co przy wcześniejszym założeniu że \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) oznacza że funkcja w tym przedziale jest malejąca.
Jak użytkownik a4karo zwraca uwagę że coś jest nie tak, to raczej rzeczywiście coś jest nie tak
A co do zadanka to niech \(\displaystyle{ x_1>x_2 \wedge x_1,x_2 \in (0,1)}\)
Badam różnicę:
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=\log ^{2}_3x_1-\log ^{2}_3x_2=(\log _3x_1+\log _3x_2)(\log _3x_1-\log _3x_2)= \\ \log _3x_1x_2 \cdot \log _3 \frac{x_1}{x_2}}\)
Z zał \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in (0,1) \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \in (0,1) \Rightarrow \log _3x_1x_2<0}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ x_1>x_2 \Rightarrow \frac{x_1}{x_2}>1 \Rightarrow \log _3 \frac{x_1}{x_2}>0}\)
Z tego wniosek że \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)<0}\), co przy wcześniejszym założeniu że \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) oznacza że funkcja w tym przedziale jest malejąca.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2017, o 21:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
\(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x).}\)
Niech \(\displaystyle{ a , b \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ a<b}\) wtedy z tego że funkcja logarytmiczna przy podstawie \(\displaystyle{ p=3 >1}\) jest funkcją rosnącą wynika, że
\(\displaystyle{ \log_{3}(a) < \log_{3}(b)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \log_{3}(a) - \log_{3}(b) < 0.}\) (1)
Funkcja \(\displaystyle{ f(x) =\log_{3}(x)}\) jest funkcją rosnącą.
Rozpatrujemy teraz funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = f^2(x) = \log^2_{3}(x).}\)
Uwzględniając różnicę, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ g(a) - g(b) = [\log^2_{3}(a) - \log^2_{3}(b)] = [\log_{3}(a) - \log_{3}(b)]\cdot [\log_{3}(a) +\log_{3}(b) ] > 0}\)
\(\displaystyle{ (-)\cdot (-) = (+)}\)
Na podstawie nierówności (1) i z tego, że suma wartości funkcji
\(\displaystyle{ \log_{3}(a)+\log_{3}(b)< 0}\), dla argumentów \(\displaystyle{ a, b \in (0,1).}\)
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest więc funkcją malejącą.
Rafsafcie myślę, że teraz rozumiesz do czego było potrzebne wspomnienie o monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x).}\)
A ponadto jestem pewien, że Pan a4karo - nie potrzebuje adwokatów-obrońców, bo świetnie sobie na forum radzi.
Niech \(\displaystyle{ a , b \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ a<b}\) wtedy z tego że funkcja logarytmiczna przy podstawie \(\displaystyle{ p=3 >1}\) jest funkcją rosnącą wynika, że
\(\displaystyle{ \log_{3}(a) < \log_{3}(b)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \log_{3}(a) - \log_{3}(b) < 0.}\) (1)
Funkcja \(\displaystyle{ f(x) =\log_{3}(x)}\) jest funkcją rosnącą.
Rozpatrujemy teraz funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = f^2(x) = \log^2_{3}(x).}\)
Uwzględniając różnicę, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ g(a) - g(b) = [\log^2_{3}(a) - \log^2_{3}(b)] = [\log_{3}(a) - \log_{3}(b)]\cdot [\log_{3}(a) +\log_{3}(b) ] > 0}\)
\(\displaystyle{ (-)\cdot (-) = (+)}\)
Na podstawie nierówności (1) i z tego, że suma wartości funkcji
\(\displaystyle{ \log_{3}(a)+\log_{3}(b)< 0}\), dla argumentów \(\displaystyle{ a, b \in (0,1).}\)
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest więc funkcją malejącą.
Rafsafcie myślę, że teraz rozumiesz do czego było potrzebne wspomnienie o monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x).}\)
A ponadto jestem pewien, że Pan a4karo - nie potrzebuje adwokatów-obrońców, bo świetnie sobie na forum radzi.
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
Szanowny januszu47, nie mam pojęcia po co było to robić, w gruncie rzeczy dowiodłeś że z tego że funkcja logartymiczna o podstawie \(\displaystyle{ p=3>1}\) jest rosnąca wynika że funkcja logarytmiczna o podstawie \(\displaystyle{ p=3}\) jest funkcją rosnącą, co nie jest w moich oczach spektakularnym odkryciem.
Podpisuję się pod tym obiema rękami, ale myślę że nie jest to zabieg konieczny, wybacz też tą celową zaczepkę z poprzedniego postu jak i z obecnego, ale nie mogłem się powstrzymać, liczę na celną ripostę
Podpisuję się pod tym obiema rękami, ale myślę że nie jest to zabieg konieczny, wybacz też tą celową zaczepkę z poprzedniego postu jak i z obecnego, ale nie mogłem się powstrzymać, liczę na celną ripostę
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
Rafsafcie
niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x),}\) o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.
niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x),}\) o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 08:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
No cóż, kwestia, czy było to potrzebne, jest subiektywna. Rozwiązanie Rafsafa jest nieco krótsze i bardziej pomysłowe od Twojego, nie wymaga też korzystania z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x)}\) - korzystamy tu z innej wiedzy o tej funkcji.janusz47 pisze: niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x),}\) o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.
Natomiast Twoje rozwiązanie jest bardziej standardowe i jako takie można uznać je za bardziej naturalne, choć to też ocena subiektywna.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def
I tym merytorycznym argumentem zakończmy tę dyskusję - problem w temacie został przynajmniej dwukrotnie rozwiązany.
JK
JK