Obraz funkcji

[Eleonore]

Jak wyznaczyć obraz \(\displaystyle{ f(\mathbb{R}^2)}\) gdzie \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\)

\(\displaystyle{ f(x,y)=(e^{x+y}+e^{x-y},e^{x+y}-e^{x-y} )}\)
Trzeba rozwiązać układ równań ?
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{x+y}+e^{x-y}=a \\ e^{x+y}-e^{x-y}=b \end{cases}}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b>0}\)? Ale wolfram nie wylicza niestety

[a4karo]

Pomnóż pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ a}\), drugie przez \(\displaystyle{ b}\) i odejmij stronami.

Z czystej ciekawości: czemu zakładasz, że \(\displaystyle{ a,b>0}\) ?

[Eleonore]

Faktycznie, druga współrzędna może być ujemna

\(\displaystyle{ (a-b)e^{x+y}+(a+b)e^{x-y}= a^2-b^2}\) I nie wiem jak z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ a,b}\)

[a4karo]

sorry, pierwsze przez \(\displaystyle{ b}\), drugie przez \(\displaystyle{ a}\)

[Eleonore]

To teraz mam \(\displaystyle{ (a-b)e^{2y}=a+b}\)
Trzeba rozpatrywać przypadki gdy \(\displaystyle{ a=b}\) itd.?

[a4karo]

Chyba nie. Jak popartzycz na ukłąd, to stwierdzisz jaka relacja musi zachodzić między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Wymyśliłem prostszy sposób: rozwiąż ten ukłąd ze względu na \(\displaystyle{ e^{x+y}}\) i \(\displaystyle{ e^{x-y}}\).

[Eleonore]

No to \(\displaystyle{ e^{x+y} =\frac{a+b}{2}}\) oraz
\(\displaystyle{ e^{x-y}= \frac{a-b}{2}}\)

[a4karo]

No właśnie. Kiedy toto ma rozwiązanie?

[Eleonore]

Gdy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}>0}\) i \(\displaystyle{ ]\frac{a-b}{2}>0}\), czyli
\(\displaystyle{ a>-b}\) i \(\displaystyle{ a>b}\)

[a4karo]

i już. NArysuj ten obszar na płaszczyżnie \(\displaystyle{ (a,b)}\)