Sprawdź różnowartościowość funkcji określonej wzorem:
\(\displaystyle{ t(x)=\frac{x^{2}}{x-2}}\), \(\displaystyle{ x\in(4,+\infty)}\)
Pomóżcie
Różnowartościowość funkcji
-
setch
- Użytkownik
- Posty: 1307
- Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 155 razy
- Pomógł: 208 razy
Różnowartościowość funkcji
\(\displaystyle{ x_1 , x_2 (4;+\infty)\\
x_1 x_2\\
t(x_1)-t(x_2)=\frac{x_1^2}{x_1-2}\frac{x_2^2}{x_2-2}=\frac{x_1^2(x_2-2)-x_2^2(x_1-2)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{x_1^2x_2-2x_1^2-x_2^2x_1+2x^2_2}{(x_1-2)(x_2-2)}= \frac{x_1x_2(x_1-x_2)-2(x_1^2-x_2^2)}{(x_1-2)(x_2-2)} = \frac{x_1x_2(x_1-x_2)-2(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(x_1-2)(x_2-2)}= \frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-2(x_1+x_2))}{(x_1-2)(x_2-2)}}\)
Mianownik ułamka jest zawsze różny od zera. Wyrażenie \(\displaystyle{ x_1-x_2}\) jest zawsze różne od zera. Tylko nie wiem jak wykazać, że \(\displaystyle{ x_1x_2-2(x_1+x_2) 0}\)
x_1 x_2\\
t(x_1)-t(x_2)=\frac{x_1^2}{x_1-2}\frac{x_2^2}{x_2-2}=\frac{x_1^2(x_2-2)-x_2^2(x_1-2)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{x_1^2x_2-2x_1^2-x_2^2x_1+2x^2_2}{(x_1-2)(x_2-2)}= \frac{x_1x_2(x_1-x_2)-2(x_1^2-x_2^2)}{(x_1-2)(x_2-2)} = \frac{x_1x_2(x_1-x_2)-2(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(x_1-2)(x_2-2)}= \frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-2(x_1+x_2))}{(x_1-2)(x_2-2)}}\)
Mianownik ułamka jest zawsze różny od zera. Wyrażenie \(\displaystyle{ x_1-x_2}\) jest zawsze różne od zera. Tylko nie wiem jak wykazać, że \(\displaystyle{ x_1x_2-2(x_1+x_2) 0}\)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Różnowartościowość funkcji
Ponieważ \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} > 4}\), to:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} = \tfrac{1}{2}x_{1}x_{2} + \tfrac{1}{2}x_{1}x_{2} > \tfrac{1}{2}\cdot 4x_{1} + \tfrac{1}{2}\cdot 4x_{2} = 2x_{1} + 2x_{2}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2})> 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} = \tfrac{1}{2}x_{1}x_{2} + \tfrac{1}{2}x_{1}x_{2} > \tfrac{1}{2}\cdot 4x_{1} + \tfrac{1}{2}\cdot 4x_{2} = 2x_{1} + 2x_{2}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2})> 0}\)
-
JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Różnowartościowość funkcji
\(\displaystyle{ \textrm{Niech }x_{1},x_{2}\in(4,\infty)\quad\wedge\quad t(x_{1})=t(x_{2})\\\\
\textrm{wtedy }\frac{x_{1}^2}{x_{1}-2}=\frac{x_{2}^2}{x_{2}-2}\\\\
x_{1}^2(x_{2}-2)=x_{2}^2(x_{1}-2)\\\\
x_{1}^2 x_{2}-2x_{1}^2-x_{2}^2x_{1}+2x_{2}^2=0\\\\
x_{1}x_{2}(x_{1}-x_{2})-2(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=0\\\\
(x_{1}-x_{2})(x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2})=0\\\\
x_{1}-x_{2}=0\quad\vee\quad x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}+4-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad x_{1}(x_{2}-2)-2(x_{2}-2)-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad (x_{2}-2)(x_{1}-2)-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad (x_{1},x_{2})\in\emptyset\textrm{ (*)}\\\\
x_{1}=x_{2}\\
\textrm{co jest równowazne róznowartosciowosci funkcji }y=t(x) \textrm{ w podanym przedziale}\\\\
\textrm{ (*): Dla liczb }x_{1},x_{2}\in(4,\infty) \textrm{mamy}\\\\
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2>2\\x_{2}-2>2\end{array}\Rightarrow\quad (x_{1}-2)(x_{2}-2)>4\iff(x_{1}-2)(x_{2}-2)-4>0}\)
Pozdrawiam
\textrm{wtedy }\frac{x_{1}^2}{x_{1}-2}=\frac{x_{2}^2}{x_{2}-2}\\\\
x_{1}^2(x_{2}-2)=x_{2}^2(x_{1}-2)\\\\
x_{1}^2 x_{2}-2x_{1}^2-x_{2}^2x_{1}+2x_{2}^2=0\\\\
x_{1}x_{2}(x_{1}-x_{2})-2(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=0\\\\
(x_{1}-x_{2})(x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2})=0\\\\
x_{1}-x_{2}=0\quad\vee\quad x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}+4-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad x_{1}(x_{2}-2)-2(x_{2}-2)-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad (x_{2}-2)(x_{1}-2)-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad (x_{1},x_{2})\in\emptyset\textrm{ (*)}\\\\
x_{1}=x_{2}\\
\textrm{co jest równowazne róznowartosciowosci funkcji }y=t(x) \textrm{ w podanym przedziale}\\\\
\textrm{ (*): Dla liczb }x_{1},x_{2}\in(4,\infty) \textrm{mamy}\\\\
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2>2\\x_{2}-2>2\end{array}\Rightarrow\quad (x_{1}-2)(x_{2}-2)>4\iff(x_{1}-2)(x_{2}-2)-4>0}\)
Pozdrawiam