Dziedzina i miejsca zerowe

[Lukas94]

jak rozwiązać taki przykład? :
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x-1} }{1+ \sqrt{1-x} }}\)
nie wiem co się robi z tą jedynką przed + w mianowniku. gdyby jej nie było bym potrafił go rozwiązać

spróbuje go rozwiązać jak zrobię to źle pomóżcie zrozumieć:
Dziedzina:
\(\displaystyle{ 1 \neq 0 \vee 1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1 \\
D_{f}=(-\infty; 1\rangle}\)
Miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ x-1>0 \\
x>1 \\
x_{0}=(1;+\infty)}\)
nie ma ma miejsc zerowych należących do dziedziny funkcji

[Lbubsazob]

Nie tak. Żeby znaleźć dziedzinę, muszą być spełnione dwa założenia:
1) mianownik różny od zera,
2) liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna.

Zatem: \(\displaystyle{ 1+\sqrt{1-x}\neq 0 \ \wedge \ 1-x \ge 0}\). Do zera przyrównujesz cały mianownik, a nie jego poszczególne elementy.

[Lukas94]

czyli :
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{1-x} \neq 0 \\
\sqrt{1-x} \neq -1/\sqrt{} \\
1-x \neq \sqrt{-1}/ \\
-x \neq \sqrt{-1}-1/ \cdot -1 \\
x \neq - \sqrt{-1}+1/ \\
x \neq 1 +1/ \\
x \neq 2}\)

\(\displaystyle{ 1-x \ge 0 \\
x \ge 1}\)

\(\displaystyle{ D_{f}=\langle 1;2) \cup (2;+\infty)}\)

Tak powinno być?

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{1-x} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-x} \neq -1/\sqrt{}}\)
\(\displaystyle{ 1-x \neq \sqrt{-1}/}\)
\(\displaystyle{ -x \neq \sqrt{-1}-1/ \cdot -1}\)
\(\displaystyle{ x \neq - \sqrt{-1}+1/}\)
\(\displaystyle{ x \neq 1 +1/}\)
\(\displaystyle{ x \neq 2}\)

Nie. Przede wszystkim \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) nie istnieje (w liczbach rzeczywistych). Zauważ, że już w drugiej linijce masz \(\displaystyle{ \sqrt{1-x}\neq -1}\), co jest zawsze prawdziwe, bo pierwiastek z założenia jest nieujemny, więc dla każdego \(\displaystyle{ x}\) jest większy od liczby ujemnej. Zatem w tym wypadku \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

\(\displaystyle{ 1-x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x \ge 1}\)

Jeżeli w nierównościach mnożysz obie strony przez liczbę ujemną, to zmieniasz znak nierówności:
\(\displaystyle{ 1-x\ge 0 \\
-x \ge -1 \\
x\le 1}\)

[Lukas94]

więc dziedzina jest taka?
\(\displaystyle{ D_{f}=(-\infty; 1\rangle}\)

[Lbubsazob]

Zgadza się.

Jak chcesz napisać dłuższe wyrażenie w LaTeX-u, to nie musisz stosować pojedynczych klamr na każde wyrażenie. Odstęp uzyskasz w ten sposób:

Kod: Zaznacz cały

[tex] linijka 1 \ linijka 2 \ linijka 3 [/tex]