wyznaczanie miejsc zerowych i dziedzin [2 rodzaj]

[a4karo]

Pomyśl: mianownik w liczniku nadal pozostaje mianownikiem. W mianowniku też

[Lukas94]

rozwiążesz ten przykład, ?

[a4karo]

nie. Sam musisz to zrozumieć. rozwiązane przykłady znajdziesz w wielu podręcznikach i zbiorach zadań.

[Lukas94]

Spróbuje jeszcze raz to rozwiązać :
\(\displaystyle{ \frac{1- \frac{1}{x} }{1+ \frac{1}{x}}}\)

Dziedzina:
\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{x} \neq 0 \\
\frac{1}{x}\neq-1 \\
1\neq-x/\cdot{-1} \\
x\neq-1 \vee \frac{1}{x} \Rightarrow x\neq 0 \\
D_{f}=R \setminus \left\{-1;0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 0}\) nie należą do dziedziny

Miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=1/\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee - \frac{1}{x} \Rightarrow -1 = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ 1}\) jest jedynym miejscem zerowym , \(\displaystyle{ 0}\) nie jest zawarte w dziedzinie.

Czy dobrze zrobione?

[Lbubsazob]

Wynik jest prawidłowy, ale powinieneś popracować trochę nad zapisem. Jeśli określasz dziedzinę, to powinieneś na początku wypisać wszystkie założenia, tzn.
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{x}\neq 0 \ \wedge \ x\neq 0}\),
a potem rozwiązać poszczególne przypadki.

Natomiast przy znajdowaniu miejsca zerowego, nie wiem skąd masz taki zapis:

\(\displaystyle{ x=1 \vee - \frac{1}{x} \Rightarrow -1 = 0}\)

Przyrównujesz do zera tylko licznik, czyli \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{x}=0}\), stąd \(\displaystyle{ x_0=1}\) i nie ma innego rozwiązania.

[Lukas94]

\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{x}=0}\)
\(\displaystyle{ 1}\) nad \(\displaystyle{ x}\) też jest licznikiem.. to tego już nie trzeba przyrównywać do zera?

[Lbubsazob]

Żebyś nie miał wątpliwości, możesz sprowadzić to wyrażenie do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}}\)
Jako że mianownik musi być różny od zera, przyrównujesz tylko licznik. Zatem: \(\displaystyle{ x-1=0 \Rightarrow x=1}\).

Jeżeli masz jakąś liczbę całkowitą (np. \(\displaystyle{ 1}\)) to nie przyrównujesz jej do zera... Robisz tak tylko z wyrażeniami zawierającymi niewiadomą.

[Lukas94]

Jeżeli masz jakąś liczbę całkowitą (np. \(\displaystyle{ 1}\)) to nie przyrównujesz jej do zera... Robisz tak tylko z wyrażeniami zawierającymi niewiadomą.

a co się robi z taką liczbą całkowitą?

[Lbubsazob]

Nic. Jak chcesz rozwiązać np. \(\displaystyle{ \frac{5}{x}=0}\), to równanie to nie ma rozwiązań. Licznika nie przyrównujesz, bo wiadomo, że \(\displaystyle{ 5\neq 0}\) i to samo z każdą inną liczbą.

[Lukas94]

a jak rozwiązać taki przykład? :
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x}(x-1)(x+2) }{x ^{2} -9}}\)
pokażę wam jak to zrobię, powiedzcie proszę czy zrobię źle, czy dobrze, jeśli źle to proszę nakierujcie, powiedzcie gdzie leży błąd.

dziedzina:
\(\displaystyle{ x^{2} -9 \neq 0 \\
x^{2} \neq 9/ \sqrt{} \\
x\neq -3 \vee x\neq 3 \\
D_{f}=R \setminus \left\{ -3;3\right\}}\)

miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ \sqrt{x}(x-1)(x+2)=0 \\\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0 \\x-1=0 \Rightarrow x=1\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\\x_{0}=-2=0=1}\)
miejsca zerowe to \(\displaystyle{ -2;0;1}\)

czy dobrze rozwiązałem te miejsca zerowe?

[Premislav]

Dwie uwagi: po pierwsze masz błąd natury formalnej:

\(\displaystyle{ x\neq -3 \vee x\neq 3}\)

Powinno być \(\displaystyle{ x\neq -3 \wedge x\neq 3}\) (ale dalej "wywaliłeś" te punkty, które trzeba);
po drugie nie uwzględniłeś tego, ze musi być \(\displaystyle{ x \ge 0}\) z uwagi na dziedzinę \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) (wobec tego odpadnie jedno miejsce zerowe).
Reszta OK

[Lukas94]

teraz poprawione, czy teraz jest dobrze?

dziedzina:
\(\displaystyle{ x^{2} -9 \neq 0 \\
x^{2} \neq 9/ \sqrt{} \\
x\neq -3 \wedge x\neq 3 \\
D_{f}=R \setminus \left\{ -3;3\right\}}\)

miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ \sqrt{x}(x-1)(x+2)=0 \\\sqrt{x}\ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \\x-1=0 \Rightarrow x=1\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\\x_{0}=-2=0=1}\)
miejsca zerowe to \(\displaystyle{ x_{0}=\left\{ -2\right\} \cup \langle 0;3) \cup (3;+\infty)}\)

[Premislav]

Niestety oddaliłeś się od rozwiązania, a było nieźle.

\(\displaystyle{ D_{f}=R \setminus \left\{ -3;3\right\}}\)

Tu niestety dalej jest błąd. Musi być \(\displaystyle{ x \ge 0}\), gdyż pierwiastek kwadratowy (ten "tradycyjnie" rozumiany, czyli arytmetyczny) z liczby rzeczywistej jest określony tylko dla nieujemnych argumentów.

\(\displaystyle{ \sqrt{x}\ge 0 \Rightarrow x \ge 0}\)

może o coś innego Ci chodziło w tym zapisie, ale tak to nie za wiele ma sensu: miałeś ograniczyć dziedzinę, "odrzucając" ujemne iksy. A to, co napisałeś, do tego nie prowadzi.

\(\displaystyle{ x_{0}=-2=0=1}\)

Fatalnie. Te trzy liczby nie są sobie równe.

Końcówka też niestety bolesna, zobacz, że np. dla \(\displaystyle{ x=5}\) wartość funkcji nie jest zerem, a Ty stwierdziłeś, że to jest miejsce zerowe.
\(\displaystyle{ -2}\) nie może być miejscem zerowym tej funkcji, gdyż \(\displaystyle{ x}\) muszą być nieujemne.

[Lukas94]

czyli to powinno być tak?

dziedzina:
\(\displaystyle{ x^{2} -9 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2} \neq 9/ \sqrt{}}\)
\(\displaystyle{ x\neq -3 \wedge x\neq 3}\)
\(\displaystyle{ D_{f}=R\setminus\left\{ -3;3\right\}}\)

miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ \sqrt{x}(x-1)(x+2)=0 \\\sqrt{x}\ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \\x-1=0 \Rightarrow x=1\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\\ x_{0}= \langle 0;3) \cup (3;+\infty)}\)

[Premislav]

Nie no, nie bawmy się w strzelanie, bo jeszcze ranni będą.
Dziedzina: chodzi o wyznaczenie maksymalnego zbioru iksów zawartego w \(\displaystyle{ \RR}\), dla którego wyrażenie ma sens. No to tak: pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej (wciąż tego nie uwzględniłeś przy dziedzinie), mianownik nie może się zerować (tu dobrze wyrzuciłeś te \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 3}\)). Czyli muszą być liczby nieujemne i jednocześnie takie, żeby się mianownik nie zerował.
Miejsca zerowe: musisz wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Dobrze zacząłeś ze sprawdzaniem, kiedy się zeruje licznik, no i wyznaczyłeś już wszystkie punkty, w których to ma miejsce, tj. \(\displaystyle{ x=-2\vee x=0\vee x=1}\). Teraz patrzysz na dziedzinę i odrzucasz to, co nie pasuje (to już zrobiłeś). Ale niepotrzebnie dorzucasz tu jakieś przedziały -chyba mieszasz to, co pisałem nt. dziedziny z miejscami zerowymi.
No i zapis dalej słaby, bo miejsce zerowe nie jest przedziałem.