Równanie funkcyjne Jensena

[Christofanow]

Cześć!

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{x + y}{2} \right) = \frac{\Phi \left( x \right) + \Phi \left( y \right) }{2}}\)
Chciałbym znaleźć funkcje spełniające to równanie.
Jak zabrać się do takiego poszukiwania?

[Mistrz]

Jakieś jeszcze warunki? Czy \(\displaystyle{ \Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)? Podana równość ma zachodzić dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\)?

[bakala12]

Zakładam, że \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) oraz jest funkcją ciągłą
Kładziemy:
\(\displaystyle{ y=0, \ i \ x=a+b}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ f \left( 0 \right) =c, \ c \in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ f \left( \frac{a+b}{2} \right) =\frac{f \left( a+b \right) +c}{2}}\)
Z drugiej strony kładziemy \(\displaystyle{ x=a, \ y=b}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ f \left( \frac{a+b}{2} \right) =\frac{f \left( a \right) +f \left( b \right) }{2}}\)
Porównując te dwie równości mamy:
\(\displaystyle{ f \left( a+b \right) +c=f \left( a \right) +f \left( b \right)}\)
Oznaczmy teraz \(\displaystyle{ g \left( x \right) =f \left( x \right) -c}\), oczywiście jest to funkcja ciągła. Mamy więc:
\(\displaystyle{ g \left( a+b \right) =g \left( a \right) +g \left( b \right)}\)
To jest równanie funkcyjne Cauchy'ego, a jego rozwiązania (przy założeniu ciągłości) są takie:
\(\displaystyle{ g \left( x \right) =dx, \ d \in \mathbb{R}}\)
Wracając z podstawieniem do funkcji \(\displaystyle{ f}\) dostajemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =dx-c}\), a uwzględniając, że \(\displaystyle{ c \ i \ d}\) są dowolnymi stałymi z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) dostajemy jako rozwiązania wszystkie funkcje liniowe. I istotnie łatwo się przekonać, że wszystkie funkcje liniowe spełniają nasze równanie.

[Kamaz]

Dla funkcji ciągłych można na to spojrzeć korzystając z prostego faktu o wypukłości (wklęsłości).

Jeśli funkcja ciągła \(\displaystyle{ \Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) spełnia dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\) warunek

\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{\Phi \left( x \right) + \Phi \left( y \right) }{2}\quad\left(\;\ge\;\right),}\)

to jest wypukła (wklęsła).

Odnoszę jednak wrażenie, że istnieją też funkcje nieciągłe spełniające podane równanie.-- 24 wrz 2013, o 14:52 --Ostatnia myśl wyrażona jako przypuszczenie — dowodu nie mam.

[Kartezjusz]

Oczywiście. Można pokazać,że jeśli funkcja spełnia równanie Jensena i ciągła w jednym punkcie, to jest ciągła w każdym:). Popatrz na implikację odwrotną. To oznacza, że ta nieciągłość jest baaaaardzo duża. To dowodzi się z użyciem m.in aksjomatu wyboru.

[Qń]

Odnoszę jednak wrażenie, że istnieją też funkcje nieciągłe spełniające podane równanie.
-- 24 wrz 2013, o 14:52 --
Ostatnia myśl wyrażona jako przypuszczenie — dowodu nie mam.

Zgadza się, dawno temu nawet był o tym (między innymi) wątek:
53385.htm

Q.