Wątpliwośc w monotoniczości

123ariel456 · Post autor: **123ariel456** » 22 mar 2013, o 12:43

Witam,
mam funkcję \(\displaystyle{ f(x) = 3x^4-16x^3=1}\). Zbadałem jej monotoniczność za pomocą pochodnej i pierwiastki pochodnej wyszły mi: \(\displaystyle{ x=0}\) (dwukrotny) i \(\displaystyle{ x=4}\) (jednokrotny). Narysowałem przybliżony wykres tej funkcji i w 0 się odbija od osi, a w 4 przecina ją. Który zapis monotoniczności jest poprawny:
\(\displaystyle{ f(x)}\) maleje dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,0) \cup (0,4)}\) czy \(\displaystyle{ f(x)}\) maleje dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,4)}\) . Ten pierwiastek dwukrotny \(\displaystyle{ x=0}\) sprawia ze mam wątpliwość, czy przedział można łączyć, czy nie. Z góry dziękuję za pomoc.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 mar 2013, o 14:21

Nie sprawdzam rachunków, jedynie odpowiadam na pytanie - jeśli w zerze jest pierwiastek, to rzecz jasna go pomijasz przy monotoniczności, gdyż tam funkcja nie rośnie ani nie maleje.

123ariel456 · Post autor: **123ariel456** » 22 mar 2013, o 17:24

na tyle na ile zrozumiałem, narysowałem też ta funkcję w programie i w \(\displaystyle{ x=0}\) jest punkt przegięcia. faktycznie jest ona w pobliżu zera prawie "płaska" czyli stała. Wobec tego zapis \(\displaystyle{ f(x)}\) maleje dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,0) \cup (0,4)}\) będzie poprawny, bo funkcja dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest stała i zero wywalamy z monotoniczności?

Visioner69 · Post autor: **Visioner69** » 22 mar 2013, o 17:28

Tak, pierwiastek dwukrotny jest punktem odbicia, tam funcja nie jest monotoniczna a przyjmuje okreslona wartosc: 0.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 mar 2013, o 17:28

A dlaczego ma pomijać? Nie pomijasz, funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^4-16x^3}\) jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,4]}\).

cosinus90, funkcja w żadnym punkcie ani nie rośnie, ani nie maleje. Monotoniczności nie bada się w punkcie!

JK

123ariel456 · Post autor: **123ariel456** » 22 mar 2013, o 17:49

Jan Kraszewski, czyli jak rozwiązanie pochodnej jest pierwiastkiem 2krotnym, to nie ma znaczenia dla monotoniczności? więc prawidłowo będzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ;4)}\) i to zero zawiera sie w tym przedziale? czy mam "wywalić" zero z monotoniczności malejącej?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 mar 2013, o 20:02

A wiesz, co to jest monotoniczność? Pochodna tylko pomaga w wyznaczaniu przedziałów monotoniczności. A Twoje pytanie wyraźnie wskazuje, że nie bardzo rozumiesz istotę tego pojęcia.

Funkcja, którą podałeś, jest malejąca dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 4]}\) (nie wiem, dlaczego rezygnujesz z \(\displaystyle{ 4}\)).

JK

stanley12 · Post autor: **stanley12** » 22 mar 2013, o 20:15

to co to jest monotoniczność?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 mar 2013, o 20:29

Nie wiesz, co to znaczy, że funkcja jest malejąca?

JK

stanley12 · Post autor: **stanley12** » 22 mar 2013, o 21:38

to, że dla coraz większych argumentów przyjmuje coraz mniejsze wartości.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 mar 2013, o 22:52

No właśnie. Stosując tę definicję nie powinno być wątpliwości, na jakim przedziale rozpatrywana funkcja jest malejąca.

JK

piobury · Post autor: **piobury** » 23 sie 2018, o 19:41

Może nie powinienem odkopywać tego tematu, ale trafiłem na niego przypadkowo a moja odpowiedź jest związana z poprzednim postem Jan Kraszewski.

Wyżej napisał Pan:

Jan Kraszewski pisze:funkcja w żadnym punkcie ani nie rośnie, ani nie maleje. Monotoniczności nie bada się w punkcie!

Jak najbardziej się z tym zgadzam i sam staram się ludziom wybić z głowy ten głupi błąd.
Jednak niżej sam popełnia Pan ten błąd.

Jan Kraszewski pisze: Funkcja, którą podałeś, jest malejąca dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 4]}\) (nie wiem, dlaczego rezygnujesz z \(\displaystyle{ 4}\)).
JK

Funkcja nie jest malejąca dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 4]}\) (bo to sugeruje, że w każdym z tych punktów maleje).
Funkcja jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, 4]}\).

Post autor: **Jan Kraszewski** » 23 sie 2018, o 20:02

piobury pisze:Funkcja nie jest malejąca dla \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 4]}\) (bo to sugeruje, że w każdym z tych punktów maleje).
Funkcja jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, 4]}\).

Tak, oczywiście.

JK

anna_ · Post autor: **anna_** » 23 sie 2018, o 22:00

Niedawno miałam podobne wątpliwości dotyczące monotoniczności funkcji kwadratowej.
Domykać przedział w odciętej wierzchołka czy nie.
Pojawiły się dwie wersje odpowiedzi:
1. domykać, jak w poleceniu jest "podaj maksymalne przedziały monotoniczności"
2. nie domykać, jak w poleceniu nie ma "maksymalne"
Z tego co pamiętam kilkadziesiąt lat temu pojęcie "maksymalne przedziały" w ogóle nie występowały.

Podobno egzaminatorzy uznają obie odpowiedzi jako poprawne.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 23 sie 2018, o 22:26

Pisałem o tym wielokrotnie.

,,Maksymalne" pojawiły się aby wyeliminować odpowiedzi zawierające kawałek przedziału.

[edit] 258835.htm

Matematyka.pl