Matematyka.pl

Udowodnić, że jeżeli liczba p jest okresem (niekoniecznie podstawowym) funkcji f, to dla każdego \(\displaystyle{ k\in N}\) liczba \(\displaystyle{ k \cdot p}\) jest także okresem tej funkcji.

mam pytanie do powyższego czy wystarczy jak napiszę, że np. jeżeli funkcja \(\displaystyle{ y=sin x}\) jest okresowa i jej okres podstawowy wynosi 2pi to każda liczba 2pi \(\displaystyle{ \cdot}\)k jest także okresem tej funkcji?
nie wiem jak mam do tego podejść jak niby mam to przedstawić przecież to jest oczywiste, wynika to definicji...

Nie. To, co Ty chcesz zrobić, to podanie przykładu. Przykład nie jest dowodem.

Ja bym zastosował indukcję. Choć faktycznie jest to elementarne twierdzenie.

Przepraszam ale nie potrafię korzystać jeszcze z indukcji matematycznej... nie ma innego sposobu ?

Nic, co mi przychodzi do głowy, nie jest prostsze od indukcji. Jesteś pewien, że nie chcesz się jej nauczyć? Ogarnięcie podstaw wcale nie jest trudne.

Nauczyć się oczywiście że chcę i zrobię to natomiast indukcję mam w planach razem z ciągami

A jakby napisać coś takiego.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie naszą funkcją, a \(\displaystyle{ T}\) jej okresem. Mamy udowodnić, że z:

\(\displaystyle{ f(x + T) = f(x)}\) wynika \(\displaystyle{ f(x + kT) = f(x)}\).

Jednak możemy zapisać:

\(\displaystyle{ f(x + kT) = f([x + (k-1)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

\(\displaystyle{ f(x + (k-1)T) = f([x + (k-2)T] + T) = f(x + (k-2)T)}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ f(x + T) = f(x)}\).

Oczywiście skoro k jest naturalne, to proces się zakończy (dokładnie po k-tej równości) To takie trochę świadome ominięcie indukcji, ale ważne że działa

Jak dla mnie to to się praktycznie od indukcji nie różni.

Marcinek665 pisze: \(\displaystyle{ f(x + kT) = f([x + (k-1)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

co się stało z T?

Althorion pisze:Jak dla mnie to to się praktycznie od indukcji nie różni.

może dlatego tego nie rozumiem...-- 8 sierpnia 2011, 20:42 --to też jest chyba już zbędne ? wychodzisz z jednej równości aby dowieść tę samą równość?

Marcinek665 pisze: \(\displaystyle{ f(x + (k-1)T) = f([x + (k-2)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

Miałem literówkę, już poprawiłem.