Udowodnić okresowość

[Hołek]

Udowodnić, że jeżeli liczba p jest okresem (niekoniecznie podstawowym) funkcji f, to dla każdego \(\displaystyle{ k\in N}\) liczba \(\displaystyle{ k \cdot p}\) jest także okresem tej funkcji.

mam pytanie do powyższego czy wystarczy jak napiszę, że np. jeżeli funkcja \(\displaystyle{ y=sin x}\) jest okresowa i jej okres podstawowy wynosi 2pi to każda liczba 2pi \(\displaystyle{ \cdot}\)k jest także okresem tej funkcji?
nie wiem jak mam do tego podejść jak niby mam to przedstawić przecież to jest oczywiste, wynika to definicji...

[Althorion]

Nie. To, co Ty chcesz zrobić, to podanie przykładu. Przykład nie jest dowodem.

Ja bym zastosował indukcję. Choć faktycznie jest to elementarne twierdzenie.

[Hołek]

Przepraszam ale nie potrafię korzystać jeszcze z indukcji matematycznej... nie ma innego sposobu ?

[Althorion]

Nic, co mi przychodzi do głowy, nie jest prostsze od indukcji. Jesteś pewien, że nie chcesz się jej nauczyć? Ogarnięcie podstaw wcale nie jest trudne.

[Hołek]

Nauczyć się oczywiście że chcę i zrobię to natomiast indukcję mam w planach razem z ciągami

[Marcinek665]

A jakby napisać coś takiego.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie naszą funkcją, a \(\displaystyle{ T}\) jej okresem. Mamy udowodnić, że z:

\(\displaystyle{ f(x + T) = f(x)}\) wynika \(\displaystyle{ f(x + kT) = f(x)}\).

Jednak możemy zapisać:

\(\displaystyle{ f(x + kT) = f([x + (k-1)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

\(\displaystyle{ f(x + (k-1)T) = f([x + (k-2)T] + T) = f(x + (k-2)T)}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ f(x + T) = f(x)}\).

Oczywiście skoro k jest naturalne, to proces się zakończy (dokładnie po k-tej równości) To takie trochę świadome ominięcie indukcji, ale ważne że działa

[Althorion]

Jak dla mnie to to się praktycznie od indukcji nie różni.

[Hołek]

\(\displaystyle{ f(x + kT) = f([x + (k-1)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

co się stało z T?

Jak dla mnie to to się praktycznie od indukcji nie różni.

może dlatego tego nie rozumiem...-- 8 sierpnia 2011, 20:42 --to też jest chyba już zbędne ? wychodzisz z jednej równości aby dowieść tę samą równość?

\(\displaystyle{ f(x + (k-1)T) = f([x + (k-2)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

[Marcinek665]

Miałem literówkę, już poprawiłem.