spr. czy funkcja jest roznowartosciowa
spr. czy funkcja jest roznowartosciowa
Czy można w ten sposób pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+ \mbox{sin}x}\) jest różnowartościowa?
Pokażemy, że dla każdych \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in R}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\).
\(\displaystyle{ x_1+\mbox{sin}x_1=x_2+\mbox{sin}x_2 \\
x_1+\mbox{sin}x_1-x_2-\mbox{sin}x_2=0 \\
(x_1-x_2)+(\mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2)=0 \\
x_1-x_2=0 \wedge \mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2=0 \\
x_1=x_2 \wedge \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2 \Rightarrow x_2=2\pi k + x_1}\), gdy \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
Zatem doszliśmy do tego, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), więc różnowartościowa.
Pokażemy, że dla każdych \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in R}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\).
\(\displaystyle{ x_1+\mbox{sin}x_1=x_2+\mbox{sin}x_2 \\
x_1+\mbox{sin}x_1-x_2-\mbox{sin}x_2=0 \\
(x_1-x_2)+(\mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2)=0 \\
x_1-x_2=0 \wedge \mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2=0 \\
x_1=x_2 \wedge \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2 \Rightarrow x_2=2\pi k + x_1}\), gdy \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
Zatem doszliśmy do tego, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), więc różnowartościowa.
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 21:44 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj jedne klamry[latex][/latex] na całe wyrażenie.
Powód: Stosuj jedne klamry
spr. czy funkcja jest roznowartosciowa
4 linijka jest do bani. Dla przykładu:
\(\displaystyle{ x+ y =0}\)
Z tego nie musi wynikać, że \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=0}\). Weź np:
\(\displaystyle{ x=3=-y}\)
\(\displaystyle{ x+ y =0}\)
Z tego nie musi wynikać, że \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=0}\). Weź np:
\(\displaystyle{ x=3=-y}\)
spr. czy funkcja jest roznowartosciowa
Na początku też myślałam, żeby to rozwiązać przy pomocy pochodnej, ale zwątpiłam.
Czyli:
\(\displaystyle{ f'(x)=1+ \mbox{cos}x \ge 0}\), Z tego wynika, że skoro pochodna jest nieujemna, to funkcja f(x) jest rosnąca na zbiorze liczb rzeczywistych, zatem jest różnowartościowa.
Czyli:
\(\displaystyle{ f'(x)=1+ \mbox{cos}x \ge 0}\), Z tego wynika, że skoro pochodna jest nieujemna, to funkcja f(x) jest rosnąca na zbiorze liczb rzeczywistych, zatem jest różnowartościowa.
-
- Administrator
- Posty: 34124
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
spr. czy funkcja jest roznowartosciowa
Prawie dobrze. Zauważ, że funkcja zadana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=0}\) też ma pochodną nieujemną, a różnowartościowa jakoś nie jest.BlueSky pisze:Z tego wynika, że skoro pochodna jest nieujemna, to funkcja f(x) jest rosnąca na zbiorze liczb rzeczywistych, zatem jest różnowartościowa.
JK