Matematyka.pl

Dlaczego funkcje \(\displaystyle{ f(x)=( \mbox{sin}x )^3+\mbox{sin}x}\) i \(\displaystyle{ f(x)=e^{\mbox{sin}x}}\) są okresowe, a funkcje \(\displaystyle{ f(x)=\mbox{sin}(x^3+x)}\) i \(\displaystyle{ f(x)=\mbox{sin}(e^x)}\) nie są?

Jedyne co mi przychodzi do głowy to to, że skoro \(\displaystyle{ f(x)= \mbox{sin}x}\) jest okresowa, to te funkcje, w których ona występuje w niezmienionej postaci są okresowe (co więcej, funkcja pierwsza jest sumą funkcji okresowych, więc jest okresowa), ale nie jestem pewna, czy tu o to chodzi.

A z definicji nie łatwiej jest skorzystać?

Pierwsza i druga funkcja - dobra argumentacja. Co do trzeciej i czwartej - tych nieokresowych - intuicja jest taka, że funkcje wewnętrzne nie są okresowe. Spróbuj zakładając okresowość tych funkcji przeprowadzić odpowiednie rachunki tak, aby dojść do sprzeczności. Np. obłóż to arcus sinusem. Po takim obłożeniu funkcja złożona musiałaby być okresowa.