Zadanko, którego nie wiem jak zrobić (i jak zapisać):
Zbadaj na podstawie (z definicji) monotoniczność funckji:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{4-x}-2\sqrt{x}}\)
Monotonicznośc z definicji
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Monotonicznośc z definicji
Według definicji jeżeli obierzemy sobie dwa punkty \(\displaystyle{ x_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}}\) i które spełniają warunek \(\displaystyle{ x_{2}}\) > \(\displaystyle{ x_{1}}\) czyli każdy wyraz dziedziny powiększa się, bada się wówczas znak różnicy \(\displaystyle{ f(x_{2})-f(x_{1})}\) i jeśli jest on większy do o wówczas funkcja jestrosnąca.
W przypadku twojej funkcji dziedzina jest określona w przedziale od 0 do 4. Niech zatem \(\displaystyle{ x_{1}=x}\) a \(\displaystyle{ x_{2}=(x+1)}\) wtedy badasz znak różnicy:
\(\displaystyle{ \sqrt{4-(x+1)}-2{\cdot}\sqrt{x+1}-(\sqrt{4-x}-2{\cdot}\sqrt{x}=\sqrt{3-x}-2{\cdot}\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}+2{\cdot}\sqrt{x}}\) to równanie możesz zapisać następująco (z tym, że musisz tu uważać bo x≤3 i x≥0):
\(\displaystyle{ \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}-2{\cdot}({\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}\)
tak więc \(\displaystyle{ \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}}\) < 0 oraz \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\) > 0 co w połączeniu z poprzednimi wnioskami świadczy o tym, że jest to funkcja malejąca.
W przypadku twojej funkcji dziedzina jest określona w przedziale od 0 do 4. Niech zatem \(\displaystyle{ x_{1}=x}\) a \(\displaystyle{ x_{2}=(x+1)}\) wtedy badasz znak różnicy:
\(\displaystyle{ \sqrt{4-(x+1)}-2{\cdot}\sqrt{x+1}-(\sqrt{4-x}-2{\cdot}\sqrt{x}=\sqrt{3-x}-2{\cdot}\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}+2{\cdot}\sqrt{x}}\) to równanie możesz zapisać następująco (z tym, że musisz tu uważać bo x≤3 i x≥0):
\(\displaystyle{ \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}-2{\cdot}({\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}\)
tak więc \(\displaystyle{ \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}}\) < 0 oraz \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\) > 0 co w połączeniu z poprzednimi wnioskami świadczy o tym, że jest to funkcja malejąca.
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
Monotonicznośc z definicji
karolina25 ciężko mi jest się zgodzić z Twoim dowodem, już na samym początku zapominasz o tym, że wybrane iksy muszą być z dziedziny funkcji, później określasz ją, ale założenie że \(\displaystyle{ x_{1}=x}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=x+1}\) mija się z prawdą, bo nie możesz zagwaratnować, że x+1 należy do tej dziedziny skoro x należy, a co za tym idzie już nie muszę pisać. Myślę, że to podstawienie jest zbędne. Jedynie na czym możemy bazować, to że \(\displaystyle{ x_{2}>x_{1}}\)
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
Monotonicznośc z definicji
To będzie tylko podpowiedź:
Niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in Df}\), takie że \(\displaystyle{ x_{2}>x_{1}}\).
Następnie zgodnie z definicją badasz znak różnicy \(\displaystyle{ f(x_{2})-f(x_{1})}\)
\(\displaystyle{ f(x_{1})=\sqrt{4-x_{1}}-2\sqrt{x_{1}}\\f(x_{2})=\sqrt{4-x_{2}}-2\sqrt{x_{2}}\\f(x_{2})-f(x_{1})=\sqrt{4-x_{2}}-2\sqrt{x_{2}}-\sqrt{4-x_{1}}+2\sqrt{x_{1}}=\(\sqrt{4-x_{2}}-\sqrt{4-x_{1}}\)-2\(\sqrt{x_{2}-\sqrt{x_{1}}}\)}\)
Pierwszy nawias rozszerzasz o to samo tylko z plusem (aby skorzystac ze wzoru skróconego mnożenia) z drugim postepujesz tak samo. Ostatni krok to wyciągnięcie -1 przed nawias i głównym argumentem będzię to, że \(\displaystyle{ x_{2}-x_{1}>0}\)
Niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in Df}\), takie że \(\displaystyle{ x_{2}>x_{1}}\).
Następnie zgodnie z definicją badasz znak różnicy \(\displaystyle{ f(x_{2})-f(x_{1})}\)
\(\displaystyle{ f(x_{1})=\sqrt{4-x_{1}}-2\sqrt{x_{1}}\\f(x_{2})=\sqrt{4-x_{2}}-2\sqrt{x_{2}}\\f(x_{2})-f(x_{1})=\sqrt{4-x_{2}}-2\sqrt{x_{2}}-\sqrt{4-x_{1}}+2\sqrt{x_{1}}=\(\sqrt{4-x_{2}}-\sqrt{4-x_{1}}\)-2\(\sqrt{x_{2}-\sqrt{x_{1}}}\)}\)
Pierwszy nawias rozszerzasz o to samo tylko z plusem (aby skorzystac ze wzoru skróconego mnożenia) z drugim postepujesz tak samo. Ostatni krok to wyciągnięcie -1 przed nawias i głównym argumentem będzię to, że \(\displaystyle{ x_{2}-x_{1}>0}\)
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Monotonicznośc z definicji
Drogie koleżanki, może mogły by zapisać estetyczniej to rozwiązanie? Wiele osób by było wdzięcznych.
Np. Założenia; x1, x2 należą do dziedziny lub zbioru(dla zadań z zbiorami) , x2>x1
Teza; Dla każdego x należącego od dziedziny( lub przedziału) ; f(x2)-f(x1)>0
Dowód;
Wnioski;
O to pewnie chodzi tym którzy tutaj zaglądają, tzn o "profesjonalny" zapis rozwiązania, bo rozwiązać, czasami jest łatwiej niż zdobyć komplet punktów na egzamine maturalnym.
Z góry dziękuję za potencjalne spełnienie mojego postulacika
PS: Jak by to wyglądało dla dowolnych przedziałów? np. (-nieskończoność,1) , załóżmy funkcję f(x)=-x^2-2x+5. Wiem, że końcowy zapis będzie =(x2-x1)(2-x1-x2) więc funkcja w tym przedziale jest rosnąca, ale jak to elegancko zapisać?
Np. Założenia; x1, x2 należą do dziedziny lub zbioru(dla zadań z zbiorami) , x2>x1
Teza; Dla każdego x należącego od dziedziny( lub przedziału) ; f(x2)-f(x1)>0
Dowód;
Wnioski;
O to pewnie chodzi tym którzy tutaj zaglądają, tzn o "profesjonalny" zapis rozwiązania, bo rozwiązać, czasami jest łatwiej niż zdobyć komplet punktów na egzamine maturalnym.
Z góry dziękuję za potencjalne spełnienie mojego postulacika
PS: Jak by to wyglądało dla dowolnych przedziałów? np. (-nieskończoność,1) , załóżmy funkcję f(x)=-x^2-2x+5. Wiem, że końcowy zapis będzie =(x2-x1)(2-x1-x2) więc funkcja w tym przedziale jest rosnąca, ale jak to elegancko zapisać?