Wykazać, że funkcja jest różno wartościowa, wyznaczyć funkcję odwrotną.
\(\displaystyle{ x=-4 \sqrt{x}+4}\)
O co w tym chodzi ?
fukcjia różnowartościowa f odwrotna
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
fukcjia różnowartościowa f odwrotna
Zakladam, ze chodzilo ci o:
\(\displaystyle{ f(x)=-4sqrt{x}+4,;;mathbb{D}=[0;+infty)\}\)
A wiec badamy roznowartosciowosc z definicji:
\(\displaystyle{ \forall_{x_1,x_2\in\mathbb{D}} f(x_1)=f(x_2)\;\Leftrightarrow\; x_1=x_2}\)
Badamy wiec roznice:
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=-4\sqrt{x_1}+4+4\sqrt{x_2}-4=4(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})\\
f(x_1)-f(x_2)=0\\
\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=0\\
\sqrt{x_2}=\sqrt{x_1}\\
x_1,x_2>0\\
x_2=x_1}\)
A wiec funkcja jest roznowartosciowa
Funkcja odwrotna:
\(\displaystyle{ y=-4\sqrt{x}+4\\
4\sqrt{x}=4-y\\
\sqrt{x}=1-\frac{y}{4}\\
x=\left(1-\frac{y}{4}\right)^2\\
x\ge0\\
1-\frac{y}{4}\ge0\\
\frac{y}{4}\le1\\
y\le4\\
f^{-1}(x)=\left(1-\frac{x}{4}\right)^2,\;\;x\in(-\infty;4]}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ f(x)=-4sqrt{x}+4,;;mathbb{D}=[0;+infty)\}\)
A wiec badamy roznowartosciowosc z definicji:
\(\displaystyle{ \forall_{x_1,x_2\in\mathbb{D}} f(x_1)=f(x_2)\;\Leftrightarrow\; x_1=x_2}\)
Badamy wiec roznice:
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=-4\sqrt{x_1}+4+4\sqrt{x_2}-4=4(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})\\
f(x_1)-f(x_2)=0\\
\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=0\\
\sqrt{x_2}=\sqrt{x_1}\\
x_1,x_2>0\\
x_2=x_1}\)
A wiec funkcja jest roznowartosciowa
Funkcja odwrotna:
\(\displaystyle{ y=-4\sqrt{x}+4\\
4\sqrt{x}=4-y\\
\sqrt{x}=1-\frac{y}{4}\\
x=\left(1-\frac{y}{4}\right)^2\\
x\ge0\\
1-\frac{y}{4}\ge0\\
\frac{y}{4}\le1\\
y\le4\\
f^{-1}(x)=\left(1-\frac{x}{4}\right)^2,\;\;x\in(-\infty;4]}\)
Pozdrawiam.