Funkcja które spełniają warunek inwersji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 951
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Funkcja które spełniają warunek inwersji

Post autor: Fibik » 14 wrz 2020, o 22:34

Mamy dowolną funkcję, czyli:
\(\displaystyle{ y = f(x)}\)

i teraz zadanie:
znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f}\), które spełniają warunek inwersji:

\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = f\left( \frac{1}{x}\right)}\)

........

najprostszym przykładem jest oczywiście: \(\displaystyle{ f(x) = y = x}\), bo wtedy mamy faktycznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = \frac{1}{x} = f\left( \frac{1}{x}\right)}\)

Ale mam drugi przykład - ciekawszy:

\(\displaystyle{ y = \frac{x + a}{1 + ax} = f(x)}\)

dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{x} + a}{1 + \frac{a}{x}} = \frac{1 + ax}{x + a} = \frac{1}{y}}\)

Co to w ogóle za rodzaj funkcji - ma to jakąś nazwę?
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2020, o 22:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta. Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9226
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1999 razy

Re: Funkcja które spełniają warunek inwersji

Post autor: Dasio11 » 15 wrz 2020, o 08:49

Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18433
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3115 razy

Re: Funkcja które spełniają warunek inwersji

Post autor: a4karo » 15 wrz 2020, o 13:33

Dziedzina `D` takiej funkcji musi spełniać warunek
(*) `x\in D \Rightarrow 1/x\in D`

Niech `D` będzie dowolnym takim zbiorem.

Niech `f` będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze `B=D \cap ([-1,0)\cup(0,1])` spełniającą następujące warunki:
(1) `x\in B \Rightarrow f(x)\ne 0`
(2) `1\in B \Rightarrow f(1)=\pm 1`
(3) `-1\in B \Rightarrow f(-1)=\pm 1`

Każda taka funkcja może być przedłużona jednoznacznie do funkcji spełniającej warunek inwersji na całym zbiorze `D`

ODPOWIEDZ