równanie z parametrem
-
ann_u
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
równanie z parametrem
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k = 1}^{2007}|x+k|+|x-k|}\). Ile wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ f(a^2-3a+2)=f(a-1)}\)?
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 791
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: równanie z parametrem
Obserwacja jest taka, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest sumą odległości punktu \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) od punktów ze zbioru
$$Z = \{-2007, ...,-1, 1, ..., 2007\}$$
Z tego wynika, że:
1. \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta (no to jest jasne, bo zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest symetryczny względem zera).
2. \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -1)}\), bo przy przesuwaniu się zmiennej \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -\infty}\) od \(\displaystyle{ -1}\) część odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) maleje jednostajnie i pozostała część odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) tak samo jednostajnie rośnie - jednak tych pierwszych jest zawsze więcej niż niż tych drugich.
3. \(\displaystyle{ f}\) jest stała na przedziale \(\displaystyle{ [-1, 1]}\), bo przy przesuwaniu się \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) tyle samo odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) rośnie jednostajnie co maleje.
4. \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\). Argument taki sam jak w punkcie 2 albo można skorzystać z parzystości z punktu 1 i stwierdzenia z punktu 2.
Jeżeli kogoś nie satysfakcjonuje uzasadnienie tych własności, które korzysta z obserwacji, to zachęcam policzyć wartości funkcji w punktach zbioru \(\displaystyle{ Z}\). Między dwoma sąsiednimi punktami tego zbioru \(\displaystyle{ f}\) jest liniowa i w ten sposób można alternatywnie uzyskać te własności.
Z powyższych własności natychmiast uzyskujemy, że równanie
\(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2)}\)
ma następujące rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left(x_1 = -x_2 \mbox{ oraz }x_1 \in (-\infty, -1)\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(x_1, x_2 \in [-1, 1]\right)}\).
Stąd równanie
$$f(a-1) = f(a^2 - 3a +2)$$
ma następujące rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left(1 - a = a^2 - 3a + 2\mbox{ oraz }1-a \in (-\infty, -1)\cup (1,+\infty)\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(a-1, a^2-3a +2\in [-1,1]\right)}\)
Wyznaczenie wartości \(\displaystyle{ a}\) jest teraz zadaniem na poziomie licealnym.
$$Z = \{-2007, ...,-1, 1, ..., 2007\}$$
Z tego wynika, że:
1. \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta (no to jest jasne, bo zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest symetryczny względem zera).
2. \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -1)}\), bo przy przesuwaniu się zmiennej \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -\infty}\) od \(\displaystyle{ -1}\) część odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) maleje jednostajnie i pozostała część odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) tak samo jednostajnie rośnie - jednak tych pierwszych jest zawsze więcej niż niż tych drugich.
3. \(\displaystyle{ f}\) jest stała na przedziale \(\displaystyle{ [-1, 1]}\), bo przy przesuwaniu się \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) tyle samo odległości od punktów z \(\displaystyle{ Z}\) rośnie jednostajnie co maleje.
4. \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\). Argument taki sam jak w punkcie 2 albo można skorzystać z parzystości z punktu 1 i stwierdzenia z punktu 2.
Jeżeli kogoś nie satysfakcjonuje uzasadnienie tych własności, które korzysta z obserwacji, to zachęcam policzyć wartości funkcji w punktach zbioru \(\displaystyle{ Z}\). Między dwoma sąsiednimi punktami tego zbioru \(\displaystyle{ f}\) jest liniowa i w ten sposób można alternatywnie uzyskać te własności.
Z powyższych własności natychmiast uzyskujemy, że równanie
\(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2)}\)
ma następujące rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left(x_1 = -x_2 \mbox{ oraz }x_1 \in (-\infty, -1)\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(x_1, x_2 \in [-1, 1]\right)}\).
Stąd równanie
$$f(a-1) = f(a^2 - 3a +2)$$
ma następujące rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left(1 - a = a^2 - 3a + 2\mbox{ oraz }1-a \in (-\infty, -1)\cup (1,+\infty)\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(a-1, a^2-3a +2\in [-1,1]\right)}\)
Wyznaczenie wartości \(\displaystyle{ a}\) jest teraz zadaniem na poziomie licealnym.