Matematyka.pl

Jaki warunek muszą spełniać liczby a i b, aby wykresy funkcji\(\displaystyle{ f(x) =a * 2^{x}}\) i \(\displaystyle{ g(x) =b * 2^{-x}}\) miały dokładnie jeden punkt wspólny? Znajdź współrzędne tego punktu.
Sory że nie używam LATeXa, jeszcze zbytnio nie umiem się im posługiwać

Sory, że nie pomoge, ale zbytnio nie mogę się doczytać...

a teraz?

Niech \(\displaystyle{ 2^x=t \ , \ t>0}\). Mamy zatem:

\(\displaystyle{ at=b\frac{1}{t}\\
\\
at^2=b\\
\\
t^2=\frac{b}{a}\\
\\
t_1=-\sqrt{\frac{b}{a}} \ \cup \ t_2=\sqrt{\frac{b}{a}}}\)

Czyli \(\displaystyle{ t=\sqrt{\frac{b}{a}}\rightarrow 2^x=\sqrt{\frac{b}{a}}}\). Równanie to ma sens i tylko jedno rozwiązanie, gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, czyli, gdy \(\displaystyle{ a>0, b>0}\) lub \(\displaystyle{ a}\)

Ok. Dzięki. Wyszło mi że ten punkt to \(\displaystyle{ (log_{4}{ \frac{b}{a} }; \sqrt{ab})}\)
W odpowiedziach w książce, jest jeszcze napisane, że: liczby a i b muszą być różnych znaków i różne od 0.
Ktoś może mi wyjasnic dlaczego? Przecież gdy a i b będą różnych znaków to \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\) liczba pod pierwiastkiem będzie też mniejsza od zera, a wtedy nie można wyciągnąć z niej pierwiastka.

Przeanalizuj raz jeszcze co napisałeś.