1) Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ c R_{+}-{1}}\), \(\displaystyle{ a,b R_{+}}\) i \(\displaystyle{ a^2+b^2+7ab}\), to \(\displaystyle{ \log_{c}{\frac{a+b}{3}}=\frac{1}{2}(\log_{c}a+\log_{c}b)}\).
I teraz moje wnioski.
\(\displaystyle{ a^2+b^2=7ab}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+2ab-9ab=0}\)
\(\displaystyle{ (a+b+3\sqrt{ab})(a+b-3\sqrt{ab})=0}\)
Rozwiązaniej nas interesującym będzie \(\displaystyle{ \sqrt{ab}=\frac{a+b}{3}}\)
Prawą stronę równanie rozpisujemy następująco:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\log_{c}a+\log_{c}b)=\frac{1}{2}(log_{c}{ab})=log_{c}{\sqrt{ab}=\log_{c}{\frac{a+b}{3}}}\)
Czy gdzieś po drodzę się nie pomyliłem? Czy wystarczy taki zapis?
2) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b (0,1)}\), to \(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a qslant 2}\).
Wiem , że \(\displaystyle{ \log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}}\). Ale jak próbuje to wykorzystać, to dochodzę do sprzeczności, więc na pewno gdzieś po drodzę się mylę.
Prosze o pomoc.
dowody
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
dowody
1) powinno wystarczyc
2)
\(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a qslant 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log_{b}a}+\log_{b}a qslant 2}\), niech \(\displaystyle{ \log_{b}a=x}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+x qslant 2}\) \(\displaystyle{ /*x}\)
\(\displaystyle{ 1+x^2 qslant 2x}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 qslant 0}\)
dalej sobie poradzisz
2)
\(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a qslant 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log_{b}a}+\log_{b}a qslant 2}\), niech \(\displaystyle{ \log_{b}a=x}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+x qslant 2}\) \(\displaystyle{ /*x}\)
\(\displaystyle{ 1+x^2 qslant 2x}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2 qslant 0}\)
dalej sobie poradzisz