Układzik (rosnące podstawy)

[mol_ksiazkowy]

Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7^a= 8 \\ 8^b= 9 \\ 9^c=10 \\ 10^d=11. \end{cases} }\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ abcd.}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \log_7 11}\)

JK

[Niepokonana]

Nie mów mi, że wystarczyło tylko czterokrotnie zlogarytmować i pomnożyć.

[Janusz Tracz]

Można było tylko raz zlogarytmować (albo wręcz skorzystać z definicji)

\begin{split}
11 & =10^d \\
& =(9^{c})^d \\
& =((8^b)^{c})^d \\
& =(((7^a)^b)^{c})^d\\
&=7^{abcd}.
\end{split}

Ale cztery razy też można.

[Jan Kraszewski]

Nie mów mi, że wystarczyło tylko czterokrotnie zlogarytmować i pomnożyć.

Tak, wystarczyło skorzystać ze znanego wzoru \(\displaystyle{ \log_ab\cdot\log_bc=\log_ac.}\)

JK

[Niepokonana]

Ty się nie przyznawaj, że policzyłeś to mniej sprytnie niż Janusz XD

[Jan Kraszewski]

Ale tu nie ma nic do liczenia, ja to zrobiłem w pamięci...

JK