Średnie z logarytmem

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3141 razy
Pomógł: 747 razy

Średnie z logarytmem

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b >1}\) to \(\displaystyle{ \log_{a} \frac{a+b}{2} \geq \log_{\frac{a+b}{2}} b}\)

co gdy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\) zamienić na \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}\)

?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Średnie z logarytmem

Post autor: a4karo »

Nierówność jest równoważna takiej:
\(\displaystyle{ \frac{\log \frac{a+b}{2}}{\log a}>\frac{\log b}{\log \frac{a+b}{2}}}\)

lub

\(\displaystyle{ \log\log \frac{a+b}{2}-\log\log a>\log\log b-\log\log \frac{a+b}{2}}\)

a to jest warunek wklęsłości funkcji `\log\log x`, co sprawdzamy na palcach.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Średnie z logarytmem

Post autor: Premislav »

mol_ksiazkowy pisze: 23 mar 2022, o 11:48

co gdy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\) zamienić na \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}\)

?
\(\displaystyle{ \log_a \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \log_{\frac{2}{\frac 1 a+\frac 1 b}}b \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \frac{\ln \frac{2}{\frac 1 a+\frac 1 b}}{\ln a}\le \frac{\ln b}{\ln \frac{2}{\frac 1 a+\frac 1 b}}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ln ^2\left(\frac{2}{\frac 1 a+\frac 1 b}\right)\le \ln a \ln b \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \ln \ln \left(\frac{2}{\frac 1 a+\frac 1 b}\right)\le \frac{\ln \ln a+\ln \ln b}{2}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow
\ln\left(-\ln\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\right)\right) \le \frac{\ln\left(-\ln \frac 1 a\right)+\ln\left(-\ln \frac 1 b\right)}{2} \ (*)}\)
.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln(-\ln x), \ x<1}\) spełnia:
\(\displaystyle{ f''(x)=-\frac{\ln x+1}{x^2\ln^2 x}}\).
Jest więc wypukła w przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \frac 1 e\right]}\) i wklęsła w \(\displaystyle{ \left(\frac 1 e, 1\right)}\).
Zatem jeśli \(\displaystyle{ a,b\ge e}\), to zachodzi nierówność \(\displaystyle{ (*)}\), jeżeli \(\displaystyle{ a,b<e}\), to zajdzie nierówność z przeciwnym zwrotem, a jeśli np. \(\displaystyle{ a<e<b}\), to czort wi. :lol:
Ma ktoś więcej istotnych wniosków?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3141 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Średnie z logarytmem

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ma ktoś więcej istotnych wniosków?
To ze mozna tez elementarnie tj z : \(\displaystyle{ \sqrt{ \log_{t} a \ \log_{t} b } \leq \frac{\log_{t} a + \log_{t} b}{2} }\)

gdzie \(\displaystyle{ 2t=a+b}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Średnie z logarytmem

Post autor: a4karo »

mol_ksiazkowy pisze: 23 mar 2022, o 11:48 Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b >1}\) to \(\displaystyle{ \log_{a} \frac{a+b}{2} \geq \log_{\frac{a+b}{2}} b}\)

co gdy \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\) zamienić na \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}\)

?
Tutaj średnią arytmetyczną można zastąpić średnią potęgową rzędu dodatniego.

Dla średnich rzędu ujemnego zachodzą nierówności zanalizowane przez Premislava
ODPOWIEDZ