Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} }\) są dodadnimi liczbami rzeczywistymi oraz \(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{n} = \pi }\), to
\(\displaystyle{ (\log_ \pi x_{1} )^2+(\log_ \pi x_{2} )^2+...+(\log_ \pi x_{n} )^2 \ge \frac{1}{n} }\)
Dowód nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Dowód nierówności
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9Bci_mi%C4%99dzy_%C5%9Brednimi
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Dowód nierówności
@a4karo ok w linku jest faktycznie napisane, że zmienne mają być nieujemne ale chyba łatwo widać, że jeśli zachodzi
PS AM-KM dowodzi (można nie trzeba) się za pomocą C-S więc na jedno wychodzi.
PPS chyba, że to była uwaga do autora aby uważał na założenia...
\(\displaystyle{ \sqrt[]{\frac {a_{1}^2+a_{2}^2+\dots +a_{n}^2}{n}} \ge \frac {a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}{n}}\)
dla nieujemnych \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) to dla ujemnych zajdzie tym bardziej.PS AM-KM dowodzi (można nie trzeba) się za pomocą C-S więc na jedno wychodzi.
PPS chyba, że to była uwaga do autora aby uważał na założenia...
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dowód nierówności
Ale jeżeli powołujesz się na nierówności dla średnich, to trzeba to uzasadnić (chyba widać, że tym bardziej to dośc słąbe uzasadnienie )