równanie wykładnicze

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

równanie wykładnicze

Post autor: marej »

Witam,
potrzebuję pomocy ponieważ mam rozwiązanie równania z książki, jednak jest tam podany wynik, a chciałbym się dowiedzieć jak do tego ktoś doszedł.
\(\displaystyle{ x=\frac{a}{2}(e^t+e^{-t}) \\
t=\ln\frac{x+ \sqrt{x^2-a^2}}{a}}\)
Ostatnio zmieniony 10 sie 2021, o 11:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie wykładnicze

Post autor: a4karo »

Oznacz `u=e^t` i rozwiąż równanie kwadratowe
marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie wykładnicze

Post autor: marej »

Po podstawieniu \(\displaystyle{ u=e^t }\) otrzymałem(a>0 i t>0)
\(\displaystyle{ x=\frac{a}{2}u+\frac{a}{2u} \\
\frac{a}{2}u^2-xu+\frac{a}{2}=0 \\
\Delta u=x^2-a^2 \\
u_{1}=\frac{x-\sqrt{x^2-a^2}}{a},\ u_{2}=\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}
}\)
co z pierwszym pierwiastkiem u1 dlaczego został pominięty w rozwiązaniu?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: równanie wykładnicze

Post autor: Dasio11 »

Jeśli dziedziną równania jest \(\displaystyle{ t > 0}\), to \(\displaystyle{ u_1}\) odpadł właśnie ze względu na dziedzinę.
marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie wykładnicze

Post autor: marej »

Dlaczego? przecież \(\displaystyle{ u_{1}>0}\) dla każdego x.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie wykładnicze

Post autor: a4karo »

Skoro `t>0` to `u>1`
ODPOWIEDZ