Iloczyn potęg

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 2^x \cdot 3^{\frac{2}{x}} = 18}\)

[mikesz1738]

Witam,

Może coś takiego:

Pierwsze co zauważyłem to warunek \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Następnie ponieważ \(\displaystyle{ 18=2 \cdot 9=2^{1} \cdot 3^{2} = 2^{x} \cdot 3^{ \frac{2}{x} } }\) to z porównania wykładników przy odpowiednich podstawach wystarczy żeby było:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ \frac{2}{x} = 2 \end{cases}}\)

Łatwo sprawdzić, że drugi warunek również zachodzi dla \(\displaystyle{ x=1}\) co uznaję za rozwiązanie.

Pozdrawiam,

Michał

[Janusz Tracz]

@mikesz1738 to nie są wszystkie rozwiązania.

wskazówka:    

równanie można zlogarytmować

wynik:    

Po uproszczeniu wychodzi chyba coś takiego

\(\displaystyle{ (x-1)(x\ln 2-2\ln 3)=0.}\)

Zatem \(\displaystyle{ x=2\ln 3/ \ln 2}\) też jest rozwiązaniem.