Dowód z logarytmami

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kondzio34
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 24 kwie 2021, o 12:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Dowód z logarytmami

Post autor: kondzio34 »

Jak to udowodnić?
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).
Ostatnio zmieniony 18 cze 2021, o 21:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Dowód z logarytmami

Post autor: JHN »

Ja bym zaczął:
Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_2 n=p\\\log_3 n=q\ne0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są wymierne.
Wtedy
\(\displaystyle{ q={\log_2n\over\log_23}={p\over\log_23}\Rightarrow \log_23={p\over q}}\)
Wobec niewymierności \(\displaystyle{ \log_23}\) - sprzeczność
Pozostanie sprawdzenie \(\displaystyle{ q=0}\)...

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ