Suma odwrotności logarytmów (łatwe)

[Niepokonana]

Dzień dobry

Proszę o pomoc z prostym zadaniem, bo nie wiem, czy dobrze myślę, trzeba po prostu uprościć wyrażenie.
Czy jak mam \(\displaystyle{ \log_{x^{n}} y}\) to mogę zapisać, że jest to równe \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \log_{x} y}\) (gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są dodatnie, a \(\displaystyle{ x}\) różne od jedynki, \(\displaystyle{ n}\) rzeczywiste)? Jeżeli tak, to kiedy?

Moja wersja rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\log _{3} \pi } + \frac{1}{\log_{9} \pi } + \frac{1}{\log _{27} \pi }\right) \cdot \log_{81} \ \sqrt{\pi } =}\)
\(\displaystyle{ =\left( \frac{1}{\log _{3} \pi} + \frac{2}{\log _{3} \pi } + \frac{3}{\log _{3} \pi } \right) \cdot \frac{1}{8} \log _{3} \pi=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{6}{\log _{3} \pi}\cdot \frac{1}{8} \log _{3} \pi = \frac{3}{4} }\)

Dobrze?

[Janusz Tracz]

Czy jak mam \(\displaystyle{ \log_{x^{n}} y}\) to mogę zapisać, że jest to równe \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \log_{x} y}\) (gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są dodatnie, a \(\displaystyle{ x}\) różne od jedynki, \(\displaystyle{ n}\) rzeczywiste)

Tak.

Co do zadania zamiast tego wzoru mogłaś zastosować \(\displaystyle{ \frac{1}{\log _ab} =\log_b a}\) do tych ułamków. Tak czy inaczej idea słuszna więc jak w rachunkach nie ma błędu to jest ok.