Nierówność Logarytmiczna

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

Rozwiąż nierówność :
\(\displaystyle{ \log _{\frac{2}{8}} \left( 4 ^{x ^{2}+4x } +2 ^{x ^{2}+4x-1 } - \frac{1}{2}\right) >0 }\)
Zaczynam rozwiązywać i gubię się w potęgach... proszę o pomoc :cry:
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2021, o 12:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Jan Kraszewski »

To jest logarytm dziesiętny, czy coś Ci nie wyszło z podstawą logarytmu?

No i pokaż, jak liczysz.

JK
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

Tak, nie wyszło. Powinno być \(\displaystyle{ \log _{ \frac{2}{8} } }\) . Daje dziedzine wyrażenia i zmieniam podstawy w potęgach na 2, ale nie wiem co dalej.
D: \(\displaystyle{ 4 ^{x ^{2}+4x }+2 ^{x ^{2}+4x-1 }- \frac{1}{2}>0 }\)
\(\displaystyle{ 2 ^{2x ^{2}+8x }+2 ^{x ^{2}+4x-1 }-2 ^{-1}>0 }\)
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2021, o 12:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Jan Kraszewski »

\(\displaystyle{ 2 ^{2x ^{2}+8x }+2 ^{x ^{2}+4x-1 }-2 ^{-1}=\left( 2^{x^2+4x}\right)^2+\frac12\cdot 2 ^{x ^{2}+4x}-\frac12}\)

Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=2^{x^2+4x}.}\)

JK
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

Wychodzi \(\displaystyle{ t _{1}=-1, t _{2}= \frac{1}{2} }\) , teraz postawiam do \(\displaystyle{ t=2 ^{x ^{2}+4 } }\) , czy t musi być dodatnie?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: piasek101 »

Miałaś rozwiązać nierówność kwadratową, jeszcze tego nie zrobiłaś.
Gdy rozwiążesz to trzeba będzie pokombinować jak wrócić do podstawienia.
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

Dziedzina to \(\displaystyle{ t \in (- \infty ,-1) \cup ( \frac{1}{2}, \infty ) }\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: piasek101 »

Jeszcze nie - bo masz podać w x-sach.
Aby ,,pokombinować jak wrócić do podstawienia" trzeba to co podałaś w ostatnim poście zapisać za pomocą nierówności.
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

Dobra, czyli \(\displaystyle{ 2(t+1)(t- \frac{1}{2})>0 }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Jan Kraszewski »

Nie, chodziło o "\(\displaystyle{ t<-1}\) lub \(\displaystyle{ t>\frac12}\)". I teraz robisz podstawienie powrotne.

JK
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

Z \(\displaystyle{ t<-1 }\) wyszedł mi zbiór pusty, a z \(\displaystyle{ t> \frac{1}{2} , x \in (- \infty , -2- \sqrt{3}) \cup (-2+ \sqrt{3} , \infty )}\).
Ostatnio zmieniony 3 kwie 2021, o 19:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Jan Kraszewski »

No to możesz już wyznaczyć dziedzinę.

JK
Natisza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 31 mar 2021, o 23:15
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Natisza »

\(\displaystyle{ D : (- \infty ,-2- \sqrt{3}) \cup (-2+ \sqrt{3}, \infty ) }\) , tak? I co dalej?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: piasek101 »

To teraz rozwiązujesz wyjściową nierówność.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Nierówność Logarytmiczna

Post autor: Dilectus »

Jeśli logarytm o podstawie mniejszej od jeden z czegoś jest większy od zera, to to coś musi być jakie?:

:)
ODPOWIEDZ