Dziedzina funkcji logarytmicznej

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o pomoc, bo mam źle i nie rozumiem czemu.
Zadanie 25/98 z "MATeMAtyka 3" zbiór zadań.
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\log_{0,1}(mx^{2}+x+m)}\) i mamy wyznaczyć takie \(\displaystyle{ m}\), dla którego dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Z liczbą w podstawie logarytmu nie trzeba nic robić, bo nie ma w niej żadnych zmiennych. Natomiast liczba logarytmowana jest funkcją kwadratową, która ze względu na założenia ma przyjmować tylko wartości dodatnie. A funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie, dla współczynnika przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) większego od zero i wyróżnika mniejszego od zero.
\(\displaystyle{ m>0}\) i \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ 1-4m^{2}>0}\)
\(\displaystyle{ 1>4m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}>m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}>m}\) i \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<m }\)
\(\displaystyle{ m\in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})}\) i \(\displaystyle{ m>0 }\)
\(\displaystyle{ m\in (0; \frac{1}{2})}\). W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ m\in( \frac{1}{2};\infty ) }\). Gdzie mam źle?

[janusz47]

\(\displaystyle{ m>0, \ \ \Delta = 1 - 4m^2 = (1-2m)(1+2m) <0 .}\)

Dodano po 6 minutach 39 sekundach:
Rysujemy wykres paraboli \(\displaystyle{ f(m) = (1-2m)(1+2m) }\) (ramionami skierowana do dołu, przecinająca oś \(\displaystyle{ m }\) w punktach \(\displaystyle{
m_{1}= -\frac{1}{2}, \ \ m_{2} = \frac{1}{2}). }\)

Z wykresu odczytujemy, że dla \(\displaystyle{ m>0 }\) czyli prawe ramię paraboli leży pod osią \(\displaystyle{ m }\) dla \(\displaystyle{ m\in (....,\ \ \infty).}\)

[Niepokonana]

Aaa dobra, teraz ogarniam, dziękuję za pomoc.