Udowodnij prostą własność

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Udowodnij prostą własność

Post autor: cmnstrnbnn »

Udowodnij, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b}\) niewymiernych, oraz \(\displaystyle{ b \ge a}\) zachodzi własność
\(\displaystyle{ \frac{2^{a}}{2^{b}} = 2^{a-b}}\).
Ostatnio zmieniony 5 gru 2020, o 01:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: Premislav »

Primo: zupełnie nie rozumiem, po co tu założenie \(\displaystyle{ b\ge a}\).
Secundo: przy dowodzie tak prostej własności dobrze byłoby znać kontekst, ponieważ może to rozjaśnić, z czego możesz korzystać, a z czego nie możesz.
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: cmnstrnbnn »

Prawdę mówiąc, to zupełnie niepotrzebnie to założenie napisałem. Zapędziłem się porządkując myśli.

Możemy korzystać tylko z tego, że dla n naturalnego zachodzi równość \(\displaystyle{ 2^{n}=2 \cdot 2 \cdot 2 ... \cdot 2}\) - tak n razy
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: Dasio11 »

Czym dla Ciebie jest \(\displaystyle{ 2^x}\) kiedy \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą niewymierną?
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: cmnstrnbnn »

Wyobrażam to sobie tak, że to po prostu iks dwójek pomnożonych przez siebie. Tylko jak sobie wyobrazić niewymierną ilość czegoś?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: Jan Kraszewski »

To nie jest dobra intuicja, bo działa tylko dla naturalnych wykładników. A pytanie było raczej nie o to, jak to sobie wyobrażasz, tylko jak to definiujesz. Bez tego trudno będzie odpowiedzieć na wyjściowe pytanie.

JK
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: cmnstrnbnn »

Prawdę mówiąc, nie miałem pojęcia, że da się potęgę inaczej definiować, niż "iks dwójek pomnożonych przez siebie". Jakie są inne alternatywy?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: a4karo »

A jak pomnożyć przez siebie półtorej dwójki?
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: cmnstrnbnn »

I tu powiem szczerze, nie mam pojęcia jak to sobie wyobrazić. Wiem tylko jak to będzie wyglądać dla x naturalnego
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: Niepokonana »

Dlaczego nie można skorzystać z zależności \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{y}}=x^{-y}}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: Jan Kraszewski »

A skąd wiesz, że to prawda?

JK
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnij prostą własność

Post autor: cmnstrnbnn »

Pokażę w sumie co mam. Niech k, m należą do liczb naturalnych dodatnich, więc
\(\displaystyle{ \frac{2^{k} }{2^{m}}=\begin{cases} 2^{k-m} &\text{dla } k \ge m\\ 2^{0}=1 &\text{dla } k=m \\ \frac{1}{2^{m-k}}, &\text{dla } k \le m \end{cases}}\)

Mam też mały postęp z potęgami w postaci ułamka zwykłego

\(\displaystyle{ \Bigl(2^{ \frac{1}{k} }\Bigr)^{k}=2 }\), więc
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{1}{k} }= \sqrt[k]{2} }\)

więc wychodzi z tego fakt, że
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{m}{k} }= \bigl(\sqrt[k]{2}\bigr)^{m} }\)
ODPOWIEDZ