Równanie logarytmiczne z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
Równanie logarytmiczne z parametrem
Witam,
mam problem z równaniem. Próbowałem już wszystkiego i dalej nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc.
Zadanie: Czy możliwe jest znalezienie takich wartości \(a\) i \(x\), że \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)
mam problem z równaniem. Próbowałem już wszystkiego i dalej nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc.
Zadanie: Czy możliwe jest znalezienie takich wartości \(a\) i \(x\), że \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)
Ostatnio zmieniony 21 lis 2020, o 23:19 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Do zapisu wyrażeń matematycznych używaj LaTeX-a oraz tagów [latex][/latex] lub komend \(\) bądź \[\].
Powód: Do zapisu wyrażeń matematycznych używaj LaTeX-a oraz tagów [latex][/latex] lub komend \(\) bądź \[\].
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Tak, to jest możliwe...
Dla \(\displaystyle{ a=e^{1\over e}}\) jest jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=e}\), dla \(\displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}\) istnieją dwa rozwiązanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
Zacznij od interpretacji graficznej równania... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne, czyli spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\). Dla mniejszych \(\displaystyle{ a}\) wykresy przetną sie dwukrotnie.
Pozdrawiam
Dla \(\displaystyle{ a=e^{1\over e}}\) jest jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=e}\), dla \(\displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}\) istnieją dwa rozwiązanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
Zacznij od interpretacji graficznej równania... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne, czyli spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\). Dla mniejszych \(\displaystyle{ a}\) wykresy przetną sie dwukrotnie.
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Dzięki za odpowiedź.
A możesz mi jeszcze powiedzieć skąd się wzięło \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{e} } }\)?
Dodano po 3 godzinach 7 minutach 35 sekundach:
Ok. Już doszedłem to tego. Jeszcze tylko proszę o wyjaśnienie czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?
A możesz mi jeszcze powiedzieć skąd się wzięło \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{e} } }\)?
Dodano po 3 godzinach 7 minutach 35 sekundach:
Ok. Już doszedłem to tego. Jeszcze tylko proszę o wyjaśnienie czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Skoro wykresy są styczne, to m.in. pochodne są równe. Nie nazwałbym tego regułą, ale nietuzinkowym wykorzystaniem pochodnej.SemastianM pisze: ↑22 lis 2020, o 14:38 ... czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Ideę ogarnąłeś?
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {1\over x\ln a}=1\end{cases}\\
\begin{cases}\ln x=x\ln a \\ 1= x\ln a\end{cases}\Rightarrow \ln x=1\iff x=e}\)
Zatem, z (ii),
\(\displaystyle{ \ln a={1\over e}\iff a=e^{1\over e}}\)
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
No nie bardzi właśnie jak dla mnie jeśli ma być `log_a(x) = a^x` to `a^{a^x} = x` tak więc skąd u ciebie w układzie równań `log_a(x) = x`?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
W szczególności obydwa wykresy są styczne w tym samym punkcie do \(\displaystyle{ y=x}\), czyli \(\displaystyle{ \log_ax=x=a^x}\)
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Mówiąc
masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ? Tutaj mam plot dla tych dwóch właśnie (jako `a` podstawiłem 10) i zdaje się, że nie są symetryczne względnem żadnej prostej zgadza się?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Czyli
\(\displaystyle{ y_L=\log_{a}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ y_P=a^{x}}\)
Są to funkcje wzajemnie odwrotne.
Jest to własność takich funkcji!
W którym miejscu to napisałem Nota bene widzę wzór tylko jednej funkcji...
Przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem cały wątek
Kończę i pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Ok już rozumiem metodykę tego rozwiązania - bardzo ładne, dziekuję
Podobnie można także utworzyc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}x} = 1 \end{cases}\\}\)
Mam jeszcze takie pytanie, po wyznaczeniu `a = e^{1/e}` podajesz, że dla przedzielu \(\displaystyle{ \displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}}\) istneiją dwa rozwiązania - jak to wyznaczyłeś?
Dziękuję
Podobnie można także utworzyc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}x} = 1 \end{cases}\\}\)
Mam jeszcze takie pytanie, po wyznaczeniu `a = e^{1/e}` podajesz, że dla przedzielu \(\displaystyle{ \displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}}\) istneiją dwa rozwiązania - jak to wyznaczyłeś?
Dziękuję
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.
Pozdrawiam
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Równanie logarytmiczne z parametrem
Tak, widzę te rozwiązania patrzac równolegle na wykresy funkcji `ln_a(x)` oraz `y = x` i masz rację dla `1,1` `1,2` i kilka innych wartości spełniają to równanie. Natomiast zastanawiam się czy istenieje algebraiczna metoda znalazienia tych rozwiązań?
Pozdrawiam